Limit Fungsi - PDF Flipbook

117 Views
47 Downloads
PDF 1,353,547 Bytes

Download as PDF

REPORT DMCA

---

MATEMATIKA WAJIB

LIMIT FUNGSI

Oleh:

Nama : Lissa Anggraini
NPM : 4017012
Prodi : Pendidikan Matematika

Pengertian Limit Fungsi

Limit merupakan sebuah konsep matematika dimana sesuatu dikatakan “hampir”
atau “mendekati” nilai suatu bilangan tertentu. Limit dapat berupa sebuah fungsi
yang kodomainnya “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan asli tertentu.

Limit Fungsi Aljabar

Dalam pengoperasian limit fungsi aljabar, terdapat beberapa hukum atau teorema
limit yang perlu diperhatikan. Jika k konstanta, fungsi f dan fungsi g adalah fungsi-
fungsi memiliki nilai limit yang mendekati bilangan a, maka:

No TEOREMA

1 lim =

→

2 lim =

→

3 . lim ( )

→

4 lim( ( ) + ( )) = lim ( ) + lim ( )
→ → →

5 lim( ( ) − ( )) = lim ( ) − lim ( )
→ → →

6 lim( ( ). ( )) = lim ( ). lim ( )
→ → →

7 lim ( ) = lim ( )

→

→ ( ) lim ( )

→
8 lim( ( ) ) = (lim ( ))
→ →

9 lim( √ ( )) = √ l i→m ( )

→

Ada tiga metode dalam mengerjakan limit fungsi aljabar, yaitu:

1. Metode substitusi
Metode paling mudah dengan menentukan hasil suatu limit fungsi adalah
dengan mensubstitusi langsung nilai kedalam fungsi f(x). Syarat metode ini
adalah jika hasil substitusi tidak membentuk nilai “tak tentu”.
Contoh:

2 − 4 (3)2 − 4 9 − 4 5
lim = = =5=1
+ 2 3+2 5
→3

2. Metode pemfaktoran
Jika pada metode substitusi menghasilkan suatu nilai bentuk tak tentu
seperti:

∞, , , 0 x∞, ∞ – ∞, 00, ∞0, atau ∞∞

maka fungsi tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu sehingga bentuknya
tidak menjadi bentuk tak tentu, baru kemudian bisa disubstitusikan → .

Contoh:

2 − 3 ( − 3) 3
lim = 2( − 3) = 2 = 2
2 − 6
→3

3. Metode perkalian dengan akar sekawan
Metode ini digunakan jika pada metode substitusi langsung menghasilkan
nilai limit yang irasional. Fungsi dikalikan dengan akar sekawannya agar
bentuk limit tersebut tidak irasional, sehingga bisa dilakukan kembali
substitusi langsung nilai → .
Contoh:

lim +1 = lim +1 . 1+√ +2 = ( +1)(1+√ +2)
→−1 1−√ +2 →−1 1−√ +2 1+√ +2 1−( +2)

= ( +1)(1+√ +2) = ( +1)(1+√ +2)
− −1 −( +1)

= −(1 + √ + 2) = −(1 + √−1 + 2) = −(1 + 1) = −2

Ada dua metode dalam mengerjakan limit fungsi aljabar bentuk tak berhingga:

1. Metode membagi dengan pangkat tertinggi

Metode ini digunakan pada limit fungsi bentuk lim (( )). Metode ini dapat

→∞

dikerjakan dengan membagi pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan

variabel xn berpangkat tertinggi yang ada dalam fungsi f(x) dan g(x).
Setelahnya, baru dapat disubstitusi dengan → ∞.

Ingat!!!
11
∞=0↔0=∞

Contoh 1:

4 − 1 4 − 1 4 − 1 0
2 + 2 2 + 2 2 2 1
lim = 2 2 = 2 = = 0
2 2 2
→∞ 1 +

Contoh 2:

4 3 + 2 + 7 4 3 + 2 + 7 4 + 1 + 7 4
2 2 + + 4 3 + 3 + 3 3 0
lim = 2 2 4 = = = ∞
3 3 3 2 1 4
→∞ + 2 + 3

Contoh 3:

3 + 3 − 1 3 + 3 − 1 1 + 3 − 1 1
2 3 − 2 + 6 3 3 3 2 3 2
lim = = =
2 3 2 6 1 6
→∞ 3 − 3 + 3 2 − + 3

Kesimpulan :

mn=∞

2. Metode mengalikan bentuk sekawan

Metode ini digunakan pada limit fungsi bentuk lim ( ) − lim ( ). Metode
→∞ →∞

ini dapat diselesaikan dengan perkalian bentuk sekawan:

lim ( ) + lim ( )
→∞ →∞

lim ( ) + lim ( )
→∞ →∞

kemudian dilanjutkan pembagian dengan metode pertama yaitu membagi

dengan pangkat tertinggi.

Contoh :

lim (√2 + 5 − √2 + 3) = lim √2 + 5 − √2 + 3 . √2 +5+√2 +3
√2 +5+√2 +3
→∞ →∞

= lim (2 +5)−(2 +3) = lim 2
√2 +5+√2 +3
→∞ →∞ √2 +5+√2 +3

Berikutnya pembilang dan penyebut dibagi pada x pangkat tertinggi

2
lim = 0 = 0 = 0
→∞ √2 + 5 +√2 + 3 √2+0+√2+0 2√2

a < c = -∞ Rumus :
a=c=0
a>c=∞ → (√ + − √ +

→∞

Contoh 2:

lim (√4 2 + − 1 − √ 2 − 7 + 3)

→∞

= lim (√4 2 + − 1 − √ 2 − 7 + 3 . √4 2+ −1+√ 2−7 +3
√4 2+ −1+√ 2−7 +3
→∞

= lim (4 2+ −1)−( 2−7+3) = lim 3 2+8 −4
√4 2+ −1+√ 2−7+3 √4 2+ −1+√ 2−7 +3
→∞ →∞

Berikutnya pembilang dan penyebut dibagi pada x pangkat tertinggi

3 22+ 8 2 − 42 3+ 8 − 42 3
√4 42+ 4 − 14+√ 42− 7 4 + 34 √ 42+ 13− 14+√ 12− 73+ 34 →∞ √0+√0
lim lim = lim →∞ =
→∞

= 3 = ∞
0

a < p = -∞ Rumus :
a = c = −
→ (√ + + − √ + +
2√
→∞











Latihan Soal!

1. Nilai lim − 2+5 =
2+2 +1
→2

2. Nilai dari lim ((2 − 1) − √4 2 − 6 − 5) =

→∞

3. Nilai dari lim (√5 + 9 − √5 + 2 =

→∞

4. Tentukan nilai lim 2−√ +2 =

→3 −2

5. Tentukan nilai lim √2 +1−√ +5 =
4−
→2

6. Nilai lim 3 2− −2 =
2 2− −1
→3

7. Nilai dari limit fungsi lim (√2 2 + 5 + 6 − √2 2 + 2 − 1) =

→∞

8. Nilai dari lim (√4 2 + 4 − 3 − (2 − 5)) =

→∞

9. Nilai dari lim 2+2 −8 =
2−4
→−1

10. Nilai lim (√9 2 + 6 − 2 − 3 + 1) =

→∞