Epsilon 11 - PDF Flipbook

114 Views
62 Downloads
PDF 38,348,279 Bytes

Download as PDF

REPORT DMCA

---

Có thể nói là văn hóa Mỹ ngày nay
dường như không khuyến khích nam
giới và phụ nữ trong toán học.

MICHAEL SIPSER
(Nước Mỹ chọn và luyện đội tuyển

thi toán quốc tế như thế nào?)

NO Người ta thường hay nói “Mọi con
đường đều dẫn đến Roma”. Nhưng nếu
tháng 10 - 2016 đó là những con đường lát gạch trang trí
tuần hoàn, thì chúng sẽ đều dẫn đến
Lisbon!

NGUYỄN TIẾN DŨNG
(Đối xứng trong nghệ thuật)

Giải toán cùng bạn Hà Huy Khoái
Đối xứng trong nghệ thuật Nguyễn Tiến Dũng
Đường thẳng Steiner. Điểm Anti-Steiner Ngô Quang Dương
Nước Mỹ chọn và luyện đội tuyển thi toán quốc tế như thế nào? Lê Tự Quốc Thắng

VÀ CÁC CHUYÊN MỤC KHÁC

CHỦ BIÊN: Trần Nam Dũng
BIÊN TẬP VIÊN:
Võ Quốc Bá Cẩn
Ngô Quang Dương
Trần Quang Hùng
Nguyễn Văn Huyện
Dương Đức Lâm
Lê Phúc Lữ
Nguyễn Tất Thu
Đặng Nguyễn Đức Tiến

No 11
tháng 10 - 2016

LỜI NGỎ

Những ngày này 2 năm trước ý tưởng về Epsilon còn chưa được hình thành. Lúc đó, với sự gợi
ý của GS Ngô Bảo Châu, Hội toán học Việt Nam và Viện nghiên cứu cao cấp về toán cùng với
một số nhân sự tích cực đang cố gắng xin rất phép để cho ra đời tạp chí Pi, tạp chí phổ biến toán
học dành cho học sinh và sinh viên. Nhưng rồi thủ tục không đơn giản như mọi người tưởng
ban đầu và dự án bị chựng lại. Epsilon đã được ra đời như một cuộc tổng diễn tập trước khi vào
trận đánh chính thức. Ngày ý tưởng ra đời Epsilon được công bố, TS Lê Thống Nhất, một trong
những người được nhắm sẽ làm Phó tổng biên tập của Pi đã làm bài thơ chúc mừng

Chỉ một cánh én nhỏ
Không làm nên Mùa xuân
Không bắt đầu từ nhỏ
Chẳng có thứ ta cần
Từ một cánh én nhỏ
Sẽ sinh sôi dần dần
Ra cả trời én nhỏ
Rõ ràng là Mùa Xuân

Epsilon số 11 lần này được xuất xưởng trong bối cảnh các thủ tục thành lập Tạp chí Pi đã có
những bước tiến triển lạc quan và sẽ có giấy phép chính thức trong tháng 10 này. Có nghĩa là
khả năng số báo Pi đầu tiên sẽ ra đời vào tháng 1/2017 là rất cao.

Trong khi chờ đợi số báo chuyên nghiệp đầu tiên đó, Epsilon vẫn sẽ làm nhiệm vụ của mình,
chắt chiu những điều nho nhỏ đem đến cho bạn đọc của mình.

Epsilon nguyện làm cánh én nhỏ để báo hiệu Mùa Xuân.

MỤC LỤC

Hà Huy Khoái
Giải toán cùng bạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Nguyễn Tiến Dũng
Đối xứng trong nghệ thuật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Nguyễn Ái Việt
Tô Pô học và ứng dụng trong Vật lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Terrence Tao (Phùng Hồ Hải dịch)
Về câu hỏi trắc nghiệm trong toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Lê Tự Quốc Thắng
Nước Mỹ chọn và luyện đội tuyển thi toán quốc tế (IMO) như thế nào? . . . . . . . . . . 45

Trần Thanh Hải
Luận lý với thì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Henry Trần
Các phương pháp sai phân hữu hạn cho phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . 55

Kiều Đình Minh
Phương pháp giải tích trong các bài toán Olympic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Trần Quang Hùng
Tổng quát hoá đường thẳng Droz Farny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Vandanjav Adiyasuren
Note on Hermite - Hadamard Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Slava Gerovitch (Hoàng Mai dịch)
Andrei Kolmogorov - Người mở đường ngành xác suất hiện đại . . . . . . . . . . . . . . 103

Đào Thanh Oai
Mở rộng bổ đề Sawayama và định lý Sawayama-Thebault . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Ngô Quang Dương
Đường thẳng Steiner. Điểm Anti-Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Lê Phúc Lữ
Về bài toán tam giác 80-80-20 (tiếp theo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Lê Phúc Lữ
Giới thiệu về kỳ thi học bổng du học Nga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016
Nguyễn Quốc Khánh
Những câu đố Mát-Xcơ-Va . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Ban Biên tập Epsilon
Bài toán hay - Lời giải đẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Ban Biên tập Epsilon
Các vấn đề cổ điển - hiện đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

GIẢI TOÁN CÙNG BẠN

Hà Huy Khoái
(Hà Nội)

LỜI TỰA

Trình bày lời giải của một bài toán khi ta đã biết lời giải không phải là khó. Nhưng trình
bày thế nào để người đọc hiểu được lối suy nghĩ dẫn dắt đến lời giải đó luôn là rất khó.
Và đó thực sự mới là điều mà ta cần học. Vì suy cho cùng, không thể học thuộc hết tất cả
các lời giải. Cái mà ta có thể học, đó là những suy luận có lý dẫn dắt ta đến với lời giải.
Số 11 của Epsilon xin giới thiệu với độc giả một bài toán như thế với sự dẫn dắt của thầy
Hà Huy Khoái.

Cái khó nhất của mỗi người khi đứng trước bài toán là tìm phương pháp gì để giải quyết? Không
ai “mách” cho bạn là với bài đó, cần dùng phương pháp gì (trừ những bài tập “minh hoạ” cuối
mỗi chương sách). Những cuốn sách bài tập (với đề ra, lời giải hoàn chỉnh) nhiều khi không cho
ta biết làm thế nào mà tác giả tìm ra cách giải đó. Dù đã hiểu lời giải, thậm chí đã nhớ lời giải,
vẫn chưa thể nói là đã hiểu bài toán nếu chưa trả lời được câu hỏi trên. Và nếu gặp lại bài toán
đó, nhưng với cách phát biểu khác, bạn có thể vẫn tưởng như gặp nó lần đầu.
Những điều nói trên đây gợi cho tôi ý định viết một cuốn sách bài tập, nhưng trong đó không có
sẵn những lời giải đẹp đẽ, mà bạn đọc cùng với tác giả lần mò cùng nhau để tìm cách giải quyết.
Để làm ví dụ cho việc đó, mà tôi nghĩ là cần thiết khi giảng dạy, tôi chọn ra đây (chưa thể gọi
là “chọn lọc”, vì không có đủ thời gian) một số bài toán thuộc những loại khác nhau, và thuộc
những phần mà theo tôi chưa được giảng dạy nhiều ở THPT (chuyên).
Tôi sẽ cố gắng bổ sung để đến khi có thể hoàn thành một cuốn sách bài tập theo cách đó.
Ta hãy bắt đầu từ bài toán sau đây, mà theo kinh nghiệm cá nhân, “độ khó” của nó tương đương
với bài ra trong kỳ thi học sinh giỏi toàn quốc môn toán (có thể không là bài khó nhất, nhưng
không là bài dễ nhất).
Ví dụ. Cho p là số nguyên tố lẻ. Hãy xây dựng dãy {an} ∈ N sao cho ∀n, an là số nguyên
không âm nhỏ nhất khác với những số trước đó của dãy, và a0, a1, . . . , an không chứa bất kì cấp
số cộng khác hằng nào có p số hạng.
Bài ra chưa hề cho thấy có cách gì tiếp cận lời giải. Vậy thì cách duy nhất trong trường hợp này
là thử tính những số hạng đầu tiên.

6

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Từ bài ra, rõ ràng ta có 

 a0 = 0
a1 = 1

 ... = p − 2
ap−2

Dễ thấy ap−1 = p − 1, và dãy được tiếp tục như sau:

 ap−1 = p
 ap = p + 1

 ··· = 2p − 2
a2p−3

Tiếp theo sẽ phải là a2p−2 = 2p. Như vậy, ta cứ “tuần tự” cộng thêm một đơn vị, nhưng chỉ được
làm đều đó với từng đọan p − 1 số hạng.

Thử nghĩ lại, ta từng gặp điều gì tương tự? “Sau p − 1 thì phải thay đổi?” Điều này gợi ý cho ta
để giải quyết bài toán, có thể cần sử dụng cơ số p − 1. Tất nhiên, đây chỉ là một phỏng đoán về
hướng đi. Cần phải kiểm nghiệm.

Xét các số hạng đã cho viết trong cơ số p − 1. Từ a0 đến ap−2 thì ak = k. Tất nhiên, nếu viết
trong cơ số ≥ p − 1 thì k = k, với k = 0, 1, . . . , p − 2. Nhưng khi viết p − 1 trong cơ số p − 1,
ta được p − 1 = 10, trong khi ap−1 = p. Số 10 chỉ bằng p nếu xem nó là số trong cơ số p.

Tiếp tục với những số đã viết trên đây, ta dự đoán quy luật: an nhận được bằng cách viết n trong
cơ số p − 1 và đọc nó trong cơ số p.

Xét dãy B = {bn}, n = 0, 1, . . ., mà bn nhận được bằng cách viết n trong cơ số p − 1, đọc trong
cơ số p. Ta hy vọng rằng, đây chính là dãy cần tìm.

Nhận xét 1. Số b ∈ B khi và chỉ khi nếu viết b trong cơ số p thì b không chứa chữ số p − 1.

Điều này là rõ ràng từ định nghĩa dãy {bn}.
Nhận xét 2. Trong B không có cấp só cộng nào gồm p phần tử.

Thật vậy, giả sử ∃a, d ∈ N sao cho

a, a + d, . . . , a + (p − 1)d ∈ B.

Cần suy ra mâu thuẫn, tức là cần chứng minh rằng trong các số trên có số không thuộc B, tức
là số chứa chữ số ≡ (p − 1) (mod p).

Tất nhiên điều này dẫn đến việc cần chứng minh tồn tại i mà các chữ số thứ i của các số trên
đây lập thành một hệ thặng dư đầy đủ modulo p − 1.

Giả sử a = a1a2 · · · am và d = d1d2 · · · dm. Giả sử i là chữ số khác 0 đầu tiên của d tính từ phía
bên phải

d = d1d2 · · · di 00 · · · 0, với di = 0.

ksố

7

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Khi đó nếu a + kd = c1c2 · · · ci · · · cn, thì ci ≡ ai + k · di (mod p). Do p là số nguyên tố, k và
di nhỏ hơn p nên ai + kdi, k = 0, 1, . . . , p − 1 lập thành hệ thặng dư đầy đủ modulo p, tức là
tồn tại k để a + kd có chữ số (thứ i từ phải sang) bằng p − 1.

Để kết thúc, ta chứng minh an = bn với mọi n. Ta có a0 = b0. Giả sử ak = bk với k =
0, 1, 2, . . . , n − 1. Theo định nghĩa dãy an ta có an ≤ bn.

Nếu an ∈ B thì an không thể nhỏ hơn bn (vì nếu ngược lại, theo giả thiết quy nạp, an phải bằng
ai nào đó đứng trước nó. Như vậy, chỉ còn phải chứng minh an ∈ B.

Giả sử ngược lại, an ∈ B. Ta sẽ suy ra mâu thuẫn nếu tìm được cấp số cộng p số hạng trong
dãy {an}. Thực ra, “trong tay” chúng ta mới có các phần tử của dãy B, nên phải dựa vào chúng.
Cần tìm cấp số cộng này trong những số thuộc B mà ta đã biết, tức là những số nhỏ hơn an và
không chứa chữ số p − 1 khi viết trong cơ số p. Để ý rằng an có một số chữ số (p − 1) khi viết
trong cơ số p. Như vậy, chỉ cần trừ đi một số dương không vượt quá p − 1 tại những vị trí đó để
được số thuộc B và nhỏ hơn an. Cách làm bây giờ đã quá rõ ràng.

Giả sử an = α1α2 · · · αm. Xét số d mà khi viết trong cơ số p có dạng d = d1d2 · · · dm trong đó

d= 1 nếu αi = p − 1
0 nếu α1 = p − 1

Do tồn tại chữ số của an bằng p − 1 nên d ≥ 1.

Xét dãy an − d, . . . , an − (p − 1)d. Các số này không có chữ số p − 1 khi viết trong cơ số p, tức
là đều thuộc B. Mặt khác, các số đều hơn an nên theo giả thiết quy nạp, chúng đều thuộc dãy
{an}.

Như vậy, ta nhận được dãy an − (p − 1)d, an − (p − 2)d, . . . , an lập thành cấp số cộng có p số
hạng. Mâu thuẫn này kết thúc chứng minh.

8

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

ĐỐI XỨNG TRONG NGHỆ THUẬT

Nguyễn Tiến Dũng
(Đại học Toulouse, Pháp)

GIỚI THIỆU

Toán học và nghệ thuật, có cái gì chung? Là cái đẹp? Hay là sự chặt chẽ? Trong số này,
chúng tôi vinh dự giới thiệu một chương trong sách "Toán học và Nghệ thuật" của GS.
Nguyễn Tiến Dũng do Sputnik xuất bản.

Hình 1: Mái nhà thờ Sagrada Familia ở Barcelona (Tây Ban Nha), do nghệ sĩ kiến trúc sư
Antonio Gaudí (1852 − 1926) thiết kế, nhìn từ bên trong gian giữa. Nguồn: Wikipedia.
Các hình đối xứng là các hình có sự giống nhau giữa các phần, tức là chúng tuân thủ nguyên lý
lặp đi lặp lại của cái đẹp. Chính bởi vậy mà trong nghệ thuật, và trong cuộc sống hàng ngày,

9

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

chúng ta gặp rất nhiều hình đối xứng đẹp mắt. Ngay các bài thơ, bản nhạc cũng có sự đối xứng.
Tuy nhiên chương này sẽ chỉ bàn đến đối xứng trong các nghệ thuật thị giác (visual arts).

1. Các phép đối xứng

Hình 2: Mặt nước phản chiếu tạo hình ảnh với đối xứng gương.

Trong toán học có định lý sau: Mọi phép biến đổi bảo toàn khoảng cách trong không gian bình
thường của chúng ta (tức là không gian Euclid 3 chiều hoặc trên mặt phẳng 2 chiều) đều thuộc
một trong bốn loại sau:

1) Phép đối xứng gương (mirror symmetry), hay còn gọi là phép phản chiếu (reflection): Trong
không gian 3 chiều là phản chiếu qua một mặt phẳng nào đó, còn trên mặt phẳng là phản chiếu
qua một đường thẳng.

2) Phép quay (rotation): Trong không gian 3 chiều là quay quanh một trục nào đó, còn trên mặt
phẳng là quay quanh một điểm nào đó, theo một góc nào đó.

3) Phép tịnh tiến (translation): Dịch chuyển tất cả các điểm đi cùng một khoảng cách theo cùng
một hướng nào đó. Như kiểu ánh xạ τ : (x, y) → (x + T, y) trên mặt phẳng, dịch chuyển các
điểm theo hướng của trục x một đoạn có độ dài bằng T .

4) Phép lượn (glide), là kết hợp của một phép đối xứng gương và một phép tịnh tiến theo hướng

song song với trục giữa hay mặt giữa của đối xứng gương đó. Như kiểu ánh xạ g : (x, y) →

x + T , −y là kết hợp của phép đối xứng gương biến y thành −y và phép tịnh tiến biến x thành
2
tT2iế. nC. hú ý rằng nếu chúng ta thực hiện liên tiếp một phép lượn hai lần thì lại được một phép
x+
tịnh

Định lý trên không quá khó, và có thể dùng làm bài tập thú vị cho học sinh THCS (trường hợp
2 chiều) và THPT (trường hợp 3 chiều).

10

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Hình 3: Con sao biển có cả đối xứng gương lẫn đối xứng quay một phần năm vòng tròn. Có

những loại sao biển có n chân với n > 5 (thậm chí với n = 18), và khi đó nó đối xứng quay

theo góc 2π .
n

Hình 4: Đường viền sư tử tại thành cổ Persepolis (Iran).

Nếu chúng ta có một hình (hai chiều hoặc ba chiều), và có một trong các phép biến đổi như
trên bảo toàn hình đó (tức là đổi chỗ các điểm của hình cho nhau nhưng biến hình vào chính
nó), thì ta gọi đó là một phép đối xứng của hình. Tất nhiên, ta luôn có một phép đối xứng tầm
thường, tức là phép giữ nguyên tất cả các điểm. Nhưng khi nói đến đối xứng, người ta thường
hiểu là phép đối xứng không tầm thường. Nếu một hình có ít nhất một phép đối xứng không
tầm thường, thì được gọi là một hình đối xứng. Hình nào mà có càng nhiều phép đối xứng, thì
hình đó càng đối xứng.

Phép tịnh tiến và phép lượn khác phép phản chiếu và phép quay ở chỗ nếu ta cứ lặp đi lặp lại

11

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Hình 5: Một dải gỗ trang trí. Nguồn: invitinghome.com.
cùng một phép tịnh tiến hay phép lượn lên một điểm ban đầu nào đó, thì điểm đó sẽ chạy dần
ra vô cùng. Bởi vậy nếu nói một cách chặt chẽ thì không có một phép tịnh tiến hay phép lượn
nào có thể bảo toàn một vật hay một hình hữu hạn. Nhưng nếu ta chấp nhận là phép tịnh tiến
không cần được thực hiện trên toàn bộ hình mà chỉ trên một phần của hình, hoặc ta hình dung
rằng hình có thể được trải dài nối tiếp ra đến vô cùng, thì các phép tịnh tiến và phép lượn cũng
trở thành phép đối xứng, theo nghĩa mở rộng.
Hình 4 khắc họa những con sư tử trên tường thành phố cổ Persepolis ở Iran là một ví dụ về phép
đối xứng tịnh tiến theo nghĩa mở rộng: vector tịnh tiến ở đây là vector nối từ mũi một con sư tử
đến mũi của con sư tử tiếp theo. Còn hình 5 có phép đối xứng lượn theo nghĩa mở rộng.

Hình 6: Các công trình kiến trúc rất hay có đối xứng gương giữa hai bên. Trong ảnh là Mosque
(nhà thờ Hồi giáo) tại Abu Dhabi.
Trong toán học, tập hợp các phép đối xứng của một vật hay một hình được gọi là một nhóm

12

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016
(group), bởi ta có thể làm hai phép toán trên đó, là phép nhân (tích của hai phần tử) và phép
nghịch đảo. Nghịch đảo của một phép biến đổi đối xứng (bảo toàn hình) chính là phép biến đổi
ngược lại, tất nhiên cũng bảo toàn hình. Còn tích của hai phép biến đổi đối xứng chính là phép
“hợp thành” của chúng: đầu tiên ta thực hiện biến đổi theo phép thứ nhất, rồi biến đổi tiếp theo
phép thứ hai. Tất nhiên, nếu cả hai phép biến đổi bảo toàn hình, thì hình vẫn được bảo toàn khi
ta thực hiện liên tiếp hai phép biến đổi đó.

Hình 7: Tháp Phước Duyên ở chùa Thiên Mụ (Huế) có đối xứng theo hình bát giác, và kiến trúc
xung quanh có đối xứng gương.
Các công trình kiến trúc, đồ vật, hình họa và trang trí nghệ thuật có thể được phân loại theo
nhóm các đối xứng của chúng. Ví dụ, tháp Phước Duyên ở chùa Thiên Mụ (Hình 7) có tám mặt,
với đáy giống một hình bát giác đều, và như vậy nhóm đối xứng của nó cũng giống như nhóm
đối xứng của một hình bát giác đều (nếu ta bỏ qua các chi tiết không đối xứng trên tháp, ví dụ
như không phải mặt nào cũng có cửa). Tháp Eiffel ở Paris (Hình 8) có bốn mặt giống nhau, đáy
hình vuông, nên nhóm đối xứng của nó giống nhóm đối xứng của hình vuông.
Ở dưới đây, chúng ta sẽ tìm hiểu sự phân loại theo nhóm đối xứng cho các hình đa giác, rồi cho
các trang trí đường viền (frieze) và cho các kiểu lát gạch tuần hoàn (tessellation).

2. Phân loại đa giác theo nhóm đối xứng

Vào khoảng năm 2013, tôi có dành một buổi để tìm hiểu cùng với con gái, lúc đó đang học năm
cuối THCS (ở Pháp gọi là “collège”), về các nhóm đối xứng của các đa giác. Kết quả của buổi

13

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Hình 8: Tháp Eiffel ở Paris với 4 mặt như nhau, có nhóm đối xứng D4 giống hình vuông.
tìm hiểu và thực hành cùng với giấy và kéo đó được ghi lại trên Hình 9 và được viết lại chi tiết
thành một chương trong quyển sách Các bài giảng về toán cho Mirella. Đây là một hoạt động
thực hành toán học đơn giản mà thú vị, các bạn học sinh rất nên làm.
Đầu tiên là xét các tam giác. Chúng có thể có 1 đối xứng (trong trường hợp tam giác không cân,
chỉ có phép “để yên” là bảo toàn tam giác), 2 đối xứng (nếu là tam giác cân, ngoài phép để yên
còn có phép đối xứng gương), hoặc mấy đối xứng nếu là tam giác đều? Có những người sẽ trả
lời là 3, và có những người sẽ trả lời là 4. Câu trả lời chính xác là 6, trong đó có 3 phép đối xứng
gương, và 3 phép quay theo các góc 0◦, 120◦ và 240◦ (quay theo góc 0◦ có nghĩa là để yên).
Đến lượt tứ giác: Nhiều đối xứng nhất là hình vuông, với 8 đối xứng (4 đối xứng gương và 4
phép quay), tiếp theo là đến hình chữ nhật và hình thoi đều có 4 đối xứng. Tiếp theo là các hình
có 2 đối xứng: Hình bình hành (với đối xứng quay 180◦), hình thang cân, hình mũi tên và hình
cánh diều (với đối xứng gương). Còn nếu lấy một hình tứ giác tùy ý, không có cạnh nào bằng
cạnh nào, thì nhóm các đối xứng của nó sẽ là nhóm tầm thường, chỉ có mỗi một phần tử, là phép
để yên.
Đến lượt ngũ giác: lại chỉ có 3 trường hợp, tương tự như là với tam giác, chứ không có nhiều
trường hợp như là tứ giác. Khi ngũ giác đều thì có 5 × 2 = 10 đối xứng, nếu không đều thì hoặc
là nhóm đối xứng chỉ có một phần tử (phép để yên) hoặc có hai phần tử (đối xứng gương và
phép để yên). Con sao biển trên Hình 3 có hình sao năm cánh đều, và nhóm đối xứng của nó
bằng nhóm đối xứng của một ngũ giác đều.
Đến lượt lục giác thì lại có rất nhiều trường hợp khác nhau, rồi đến thất giác thì lại chỉ có 3
trường hợp, và cứ thế. Từ các thí nghiệm này, ta rút ra được một số kết luận toán học sau:

14

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Hình 9: Các đa giác và số các đối xứng của chúng.
• Hình n-giác thì có thể có nhiều nhất là 2n đối xứng, ứng với trường hợp n-giác đều. Nhóm

đối xứng trong trường hợp đó gồm n đối xứng gương và n phép quay, và gọi là nhóm nhị
diện (dihedral group) Dn. Nếu n-giác không đều, thì nhóm đối xứng của nó là một nhóm
con của nhóm Dn, và số các đối xứng là một ước số của 2n.
• Nếu n là số nguyên tố thì chỉ có 3 khả năng xảy ra: hoặc nhóm đối xứng là Dn, hoặc nhóm
đó có hai phần tử trong đó phần tử không tầm thường là đối xứng gương, hoặc là nhóm
tầm thường (chỉ có mỗi phép để yên).
Khi số cạnh của đa giác đều tiến tới vô cùng thì ta được hình tròn, là hình có nhiều đối xứng
nhất trong các hình phẳng: vô hạn đối xứng (quay quanh tâm theo góc tùy ý, và đối xứng gương
theo đường kính tùy ý).

3. Bảy kiểu trang trí đường viền

Các trang trí trên các dải mép tường, mép bàn, mép váy, hay những con đường dài và hẹp được
gọi chung là trang trí đường viền (“frieze” tiếng Anh, “frise” tiếng Pháp). Có thể hình dung một
đường viền như là một dải băng D hẹp và dài (coi như dài vô tận cho đơn giản) nằm ngang trên
mặt phẳng:

D = R × [−a, a] = {(x, y) ∈ R2 | − a ≤ y ≤ a}.
15

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Hình 10: Trang trí trên một mái nhà ở Toulouse.

Theo nguyên lý lặp đi lặp lại của cái đẹp, người ta thường trang trí đường viền một cách tuần
hoàn, tức là hình trang trí trên dải băng D có tính chất bất biến theo một phép tịnh tiến (dịch
sang phải hoặc sang trái một khúc có độ dài T nào đó):

τ : (x, y) → (x + T, y).

Hình 11: Gạch đá hoa trang trí theo một kiểu phương Đông.

Ví dụ như trên Hình 4, các con sư tử được xếp cách đều nhau trên một đường viền, và dịch một
con sư tử sang bên phải một đoạn bằng khoảng cách giữa hai cái mũi của hai con sư tử liên tiếp
thì được con sư tử tiếp theo.

Các phép tịnh tiến bảo toàn một trang trí đường viền tuần hoàn tạo thành một nhóm tương đương
với Z, tức là tập các số nguyên: với mỗi số nguyên k ∈ Z thì ta có một phép “tịnh tiến k bước”
bảo toàn hình trang trí: τ k : (x, y) → (x + kT, y).

Ngoài các phép tịnh tiến ra, thì hình trang trí đường viền còn có thể bất biến theo các phép biến
đổi khác nữa. Người ta phân loại các kiểu trang trí đường viền tuần hoàn qua nhóm các nhóm
đối xứng của chúng. Tổng cộng có đúng bảy kiểu khác nhau:

Kiểu thứ nhất gọi là hop (nhảy lò cò). Trong kiểu này, chỉ có các phép

tịnh tiến là bảo toàn hình trang trí. Hình dung như là các vết chân của một bàn chân nhảy lò cò

lên phía trước. Các con sư tử trên Hình 4 là trang trí theo kiểu hop này.

16

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Kiểu thứ hai gọi là step (bước đều). Trong kiểu này, ngoài phép tịnh

tiến, còn phép lượn (glide) cũng bảo toàn hình trang trí. Hình dung kiểu này như đi đều bước

bằng hai chân. Hình 5 là ví dụ.

Hình 12: Trang trí trên một hàng rào đá ở Ấn Độ, thế kỷ XVI-XVII.

Kiểu thứ ba gọi là sidle (đi ngang). Trong kiểu này, ngoài phép tịnh

tiến, còn phép đối xứng gương theo các trục dọc. Hình dung là hai chân xếp theo hướng dọc rồi

đi ngang như con cua, và đối xứng gương ở đây là đối xứng giữa hai chân. Hình 10 là một ví dụ.

Kiểu thứ tư gọi là spinning hop (nhảy xoay lò cò). Trong kiểu này, có

những phép quay 180◦ cũng bảo toàn hình trang trí. Hình 11 là một ví dụ.

Hình 13: Kiểu trang trí “Ngaru” của thổ dân Maori (New Zealand).

Kiểu thứ năm gọi là spinning sidle (đi xoay ngang). Trong kiểu này,

ngoài phép tịnh tiến theo chiều ngang, còn có những phép đối xứng gương theo các trục dọc

(đối xứng giữa hai chân) và những phép quay 180◦. Chú ý rằng tâm của các phép quay 18◦ nằm

ngoài các trục đối xứng, và khi kết hợp phép quay 180◦ với phép đối xứng gương thì được phép

lượn (glide). Hình 12 có thể coi là một ví dụ của kiểu đường viền thứ năm này nếu bỏ qua một

vài chi tiết.

17

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Kiểu thứ sáu gọi là jump (nhảy hai chân). Trong kiểu này, ngoài phép

tịnh tiến, còn có phép đối xứng gương theo trục ngang (đối xứng giữa hai chân đặt nằm ngang

ở hai bên trục). Hình 13 là một ví dụ.

Hình 14: Một góc balcon ở Paris.

Kiểu thứ bảy gọi là spinning jump (nhảy xoay hai chân), là kiểu cuối

cùng. Trong kiểu này, ngoài phép tịnh tiến, còn có những phép đối xứng gương theo cả trục

ngang lẫn trục dọc, và những phép quay 180◦. Hình 14 là một ví dụ.

4. Mọi con đường đều dẫn tới Lisbon

Người ta thường hay nói “Mọi con đường đều dẫn tới Roma”. Nhưng nếu đó là những con đường
lát gạch trang trí tuần hoàn, thì chúng sẽ đều dẫn tới Lisbon!

Thành phố Lisbon xinh đẹp nằm bên bờ biển Đại Tây Dương có nhiều khu đi bộ được lát bằng
gạch đá vôi (limestone) nhỏ màu trắng và đen, theo một phương pháp truyền thống gọi là “lát
gạch Portugal” (Portuguese pavements), tạo thành những hình trang trí rất nghệ thuật.

Người bạn đồng nghiệp Rui Loja Fernandes của tôi, cựu chủ tịch Hội Toán học Portugal và cựu
giáo sư tại Đại học Bách khoa Lisbon (Instituto Superior Técnico de Lisboa) có kể rằng, sau khi
nghe nói về các nhóm đối xứng trong việc lát gạch, đích thân ông thị trưởng thành phố đã mời
các nhà toán học của trường làm cố vấn để đảm bảo rằng tất cả các kiểu nhóm lát gạch khác
nhau đều xuất hiện trên các khu đi bộ của Lisbon.

Khi trang trí một mặt phẳng, như quảng trường Rossio (Hình 15) hay tường nhà, sàn nhà, tấm
vải, tấm thảm, v.v... người ta có thể chọn cách trang trí tuần hoàn hai chiều (tức là có hai hướng
tịnh tiến khác nhau bảo toàn hình). Những kiểu trang trí như vậy được gọi là lát gạch (tiếng Anh
là tessellation, tiếng Pháp là pavage) tuần hoàn. Bởi ta hình dung là có thể lấy những viên gạch

18

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Hình 15: Quảng trường Rossio ở Lisbon với nền hình sóng tuần hoàn.

Hình 16: Ảnh quảng trường Restauradores ở Lisbon của Jee Wee, với nền được lát đá theo nhóm
đối xứng p4.

trông giống nhau (hoặc vài kiểu gạch) rồi xếp chúng lại cạnh nhau là sẽ được hình trang trí như
ý muốn.

Tương tự như là các đường viền, các trang trí kiểu lát gạch tuần hoàn cũng có các nhóm đối

xứng, mà chúng ta sẽ gọi là nhóm lát gạch theo tiếng Pháp (groupe de pavage, còn tiếng Anh

gọi là wallpaper group, tức là nhóm của giấy dán tường). Ngoài các đối xứng tịnh tiến, còn có

thể có các đối xứng quay, đối xứng gương và đối xứng lượn. Ví dụ như nền quảng trường Rossio

trên Hình 15 có đối xứng quay theo góc π (180◦), còn nền đá hoa trên Hình 16 và Hình 19 có

đối xứng quay theo góc π (90◦).
2

19

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Nếu như một kiểu lát gạch tuần hoàn có đối xứng quay, thì vì tính chất tuần hoàn nên góc quay

nhỏ nhất phải là một trong các số π, 2π , π , π (ứng với chuyện có thể lát kín mặt phẳng bằng các
3 2 6
viên gạch tam giác, tứ giác hay lục giác đều, nhưng không thể lát mặt phẳng chỉ bằng ngũ giác

đều chẳng hạn). Khi có cả đối xứng quay lẫn đối xứng gương, người ta có thể xét xem trục của

đối xứng gương có chứa tâm của đối xứng quay hay không. Ví dụ trên Hình 15 có tâm của phép

quay nằm ngoài trục đối xứng (xem Hình 17), còn ví dụ trên Hình 19 có tâm của phép quay nằm

trên trục đối xứng.

Hình 17: Đường đỏ là trục đối xứng gương, điểm xanh là tâm của đối xứng xoay 180◦. Nguồn:
kleinproject.org

Tương tự như đối với các nhóm đường viền, ta có thể phân loại các nhóm lát gạch theo chuyện
nó có đối xứng quay hay không và góc quay là bao nhiêu nếu có, rồi nó có đối xứng gương hay
không, có đối xứng lượn hay không, và tâm của đối xứng quay có nằm trên trục đối xứng gương
hay không.

Người đầu tiên đưa ra phân loại đầy đủ cho các nhóm này là nhà toán học và khoáng vật học
người Nga Evgraf Fedorov (1853-1919) vào cuối thế kỷ XIX. Có tổng cộng 17 nhóm lát gạch
khác nhau, ứng với 17 kiểu lát gạch tuần hoàn khác nhau. Hình 18 là sơ đồ minh họa toàn bộ 17
kiểu đó.

Mỗi một hình con trên Hình 18 ứng với một kiểu lát gạch. Miền tô xanh là miền mà nếu làm
viên gạch có hình như vậy, rồi dịch chuyển nó theo các phép biến đổi đối xứng trong nhóm
tương tứng, thì ta lát kín vừa khít được toàn bộ mặt phẳng.

Trong số các ký hiệu của 17 kiểu nhóm đối xứng trên Hình 18, có 2 ký hiệu bắt đầu bằng chữ
cái c, có nghĩa là “centred” (ở giữa). Mỗi kiểu “c” đó đều có hai vector tịnh tiến có độ dài bằng
nhau (tạo thành hình thoi), nhưng trục đối xứng hoặc trục glide của hình không song song với
một trong hai vector đó mà lại “nằm giữa” hai vector (tức là song song với tổng của chúng). Tất
cả các kiểu còn lại đều bắt đầu bằng chữ cái p, có nghĩa là “primitive” (nguyên thủy): ở các kiểu
này, các trục đối xứng hay glide song song với các vector tịnh tiến “nguyên thủy” của hình.

Chữ số trong ký hiệu các kiểu cho biết nó có phép quay theo góc bao nhiêu: nếu chữ số là k thì

góc quay nhỏ nhất là 2đkπể. Ví dụ nếu có chữ số 4 thì có phép quay tghedoùnggócđểπ2 = 2· π4x.ứCnghữlưcợáni
m trong ký hiệu dùng chỉ đối xứng gương (mirror), còn chữ cái chỉ đối

(glide).

Danh sách chi tiết 17 kiểu như sau:

Kiểu thứ nhất, ký hiệu là p1, là kiểu chỉ có các đối xứng tịnh tiến, ngoài ra không còn thêm đối
xứng nào khác. Hình 20 phía bên trái là một ví dụ.

20

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Hình 18: Sơ đồ của 17 nhóm lát gạch. Nguồn: http://black.mitplw.com/.
Hình 19: Quảng trường Camoes ở Lisbon lát gạch theo nhóm p4m.
21

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Hình 20: Một trang trí giấy dán tường có nhóm đối xứng p1, và một trang trí kiểu Ai Cập có
nhóm đối xứng pm.
Kiểu thứ hai, ký hiệu là pg, có thêm glide, nhưng không có đối xứng quay hay đối xứng gương.
Trong kiểu này có hai hướng tịnh tiến vuông góc với nhau. Tranh lát gạch Kỵ sĩ của Maurits
Cornelis Escher trên Hình 21 là một ví dụ tiêu biểu (nếu ta bỏ qua màu của các con ngựa): phép
glide chuyển con ngựa màu nhạt thành con ngựa màu thẫm.

Hình 21: Tranh lát gạch “Kỵ sĩ” và “Đầu Escher” của Escher.
Kiểu thứ ba, ký hiệu là cm, không có đối xứng quay nhưng có đối xứng gương, và có thêm glide
với trục của glide khác với trục đối xứng gương. Vải hoa lys (hoa loa kèn) trên Hình 22 bên trái
là một ví dụ: Các trục đối xứng gương ở đây chính là các trục đối xứng của các bông hoa lys,
còn mỗi trục glide thì song song và nằm giữa hai trục đối xứng gương liên tiếp.
Kiểu thứ tư, ký hiệu là pm, không có đối xứng quay nhưng có đối xứng gương, và không có
glide với trục nằm ngoài trục đối xứng gương như kiểu thứ ba. Một ví dụ là trang trí kiểu Ai
Cập trên Hình 20 phía bên phải. Chú ý rằng kiểu này có một vector tịnh tiến song song với các
trục đối xứng và một vector tịnh tiến vuông góc với các trục đối xứng.
Kiểu thứ năm, ký hiệu là p2, ngoài các đối xứng tịnh tiến còn có thêm đối xứng quay theo góc
π, và ngoài ra không có thêm đối xứng nào khác. Hình lát gạch đầu ông Escher (với những đầu

22

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Hình 22: Vải trang trí hoa lys có nhóm đối xứng kiểu cm và tấm thảm phương Đông có nhóm
đối xứng kiểu pmm.
chổng ngược qua phép quay 180◦) trên Hình 21 là một ví dụ.
Kiểu thứ sáu, ký hiệu là pgg, không có đối xứng gương, nhưng có hai họ đối xứng glide với các
trục glide vuông góc với nhau. Kiểu này cũng có đối xứng quay 180◦, vì nếu lấy tích của hai
glide với các trục vuông góc với nhau thì được một phép quay như vậy. Hình lát sàn gỗ 23 là
một ví dụ (nếu ta coi tất cả các viên gỗ hình chữ nhật là giống hệt nhau). Kiểu lát này còn được
gọi là kiểu “xương cá trích” (herringbone).

Hình 23: Sàn lát gỗ có nhóm đối xứng kiểu pgg, còn hình trang trí trên bình cổ từ Kerma (Sudan)
đối xứng kiểu pmg.
Kiểu thứ bảy, ký hiệu là pmg, vừa có đối xứng gương, vừa có đối xứng quay 180◦ với tâm không
nằm trên đối xứng gương. Tích của hai phép đối xứng đó là phép glide, nên trong ký hiệu của
kiểu này có cả m (mirror) và g (glide). Chiếc bình cổ đại trên Hình 23 có kiểu trang trí này trên
thành bình.
Kiểu thứ tám, ký hiệu là pmm. Thay vì có đối xứng gương theo một hướng và đối xứng glide
theo hướng vuông góc với nó, kiểu pmm có hai đối xứng gương theo hai hướng vuông góc với
nhau, và tích của chúng cũng là một phép quay 180◦. Tấm thảm ở bên phải Hình 22 là một ví
dụ.

23

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Hình 24: Mặt tường gạch có nhóm đối xứng kiểu cmm.

Kiểu thứ chín, ký hiệu là cmm có các đối xứng giống kiểu pmm, nhưng ngoài ra còn có các
phép quay 180◦ với tâm không nằm trên các trục của các đối xứng gương. Hình xây gạch thành
tường như trên Hình 24 là một ví dụ về nhóm lát gạch kiểu cmm. Các điểm tô đỏ và tô xanh trên
hình đều là tâm của các đối xứng quay 180◦ của hình. Các trục đối xứng gương chỉ đi qua các
điểm đỏ chứ không đi qua các điểm xanh.

Kiểu thứ mười, ký hiệu là p3, có đối xứng quay với góc nhỏ nhất là 1 vòng tròn và không có đối
xứng gương. Hình 25 là một ví dụ. 3

Kiểu thứ mười một, ký hiệu là p3m1, có đối xứng quay với góc 1 vòng tròn, có đối xứng gương,
3
và tâm của đối xứng quay nằm trên trục đối xứng gương.

Kiểu thứ mười hai, ký hiệu là p31m, có đối xứng gương, có đối xứng quay với góc 1 vòng tròn
4
và tâm của nó không nằm trên trục của đối xứng quay.

Kiểu thứ mười ba, ký hiệu là p4, có đối xứng quay với góc 1 vòng tròn (tức là π ) và không có
đối xứng gương. Hình 16 là một ví dụ. 4 2

Hình 25: Một mảnh tường ở Alhambra lát gạch theo nhóm p3.
24

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Hình 26: Một cửa sổ tại lăng Salim Chishti, Ấn Độ, có nhiều kiểu nhóm đối xứng lát gạch.

Kiểu thứ mười bốn, ký hiệu là p4g, có đối x4ứ5n◦gvớqiutaryụcvớciủgaóđcối41 vòng tròn, có đối xứng gương,
và có đối xứng glide với trục tạo thành góc xứng gương.

Kiểu thứ mười lăm, ký hiệu là p4m, có đối xứng quay với góc 14dụv.òng tròn, và có hai đối xứng
gương với các trục tạo với nhau một góc 45◦. Hình 19 là một ví

Kiểu thứ mười sáu, ký hiệu là p6, có đối xứng quay với góc 1/6 vòng tròn (tức là π ) và không có
có đối xứng gương. Hình 27 bên phải là một ví dụ. 3

Kiểu thứ mười bảy, ký hiệu là p6m, có góc quay 1/6 vòng tròn và có đối xứng gương. Hình 27
bên trái là một ví dụ.

Ngoài Lisbon, có một nơi khác cũng được coi là có đủ 17 kiểu nhóm lát gạch là khu cung điện
Alhambra (tiếng Ả Rập có nghĩa là “Đỏ”) do những người Hồi giáo xây ở Granada, Tây Ban
Nha, từ thế kỷ XIII. Đây là một cung điện nguy nga, với rất nhiều trang trí tuần hoàn (và cả
không tuần hoàn) đẹp trên tường. Tuy nhiên, chưa thấy ai công bố kiểm chứng là nó có đủ 17
kiểu lát gạch.

Người ta nói rằng họa sĩ Escher khi đi thăm Alhambra đã có được ý tưởng và cảm hứng vẽ các
tranh lát gạch nổi tiếng của ông từ các hình trang trí trên tường của cung điện này, và tranh của
Escher có chứa đủ 17 kiểu nhóm lát gạch. Trong sách Các bài giảng về toán cho Mirella cũng
có một chương về tạo hình trang trí bắt chước Escher bằng cách sử dụng các phép đối xứng.

25

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Hình 27: Sàn đá hoa ở Duomo di Siena (Toscana, Italia) có nhóm đối xứng p6m, còn tranh “Con
bướm” của Escher có nhóm đối xứng p6.

Hình 28: Trần gian phòng Abencerrajes tại cung điện Alhambra, với nhiều trang trí kiểu lát gạch
khác nhau trên tường.
Vào thập kỷ 1980, nhà toán học William Thurston nghĩ ra một phương pháp hình học mới, dựa
trên lý thuyết về orbifold (có thể hiểu orbifold như là tập hợp các quỹ đạo (orbit) của một nhóm
hữu hạn tác động lên một đa tạp), để phân loại các nhóm lát gạch. Phương pháp của Thurston

26

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

cho ra giải thích gọn ghẽ vì sao chỉ có 17 nhóm, nhưng để mô tả tác động của các nhóm đó trên
mặt phẳng thì vẫn phải làm như trên.

Hình 29: Hai ví dụ lát gạch 3 chiều của Andrew Kepert. Nguồn: wikipedia. Các viên gạch là
“truncated octahedra” (“bát diện cụt”) hoặc “rhombic dodecahedra” (“thập nhị diện con thoi”).
Nếu như trên mặt phẳng “chỉ có” 17 cách lát gạch tuần hoàn, thì trong không gian ba chiều số
nhóm “lát không gian” (gọi là nhóm tinh thể, crystallographic group) lên tới những 230. Để liệt
kê chúng tất nhiên cần cả một quyển sách, và hình dung chúng còn khó hơn hiều so với hình
dung các nhóm lát gạch hai chiều.

5. Đối xứng trên không gian phi Euclid

Ngoài mặt phẳng ra, còn có hai loại mặt khác mà trên đó cũng có các phép tịnh tiến, phép phản
chiếu và phép quay bảo toàn khoảng cách, là mặt cầu và mặt hyperbolic (hay còn gọi là mặt
Lobachevsky). Chúng là những không gian phi Euclid. Các không gian phi Euclid này cũng có
thể được lát gạch tương tự như là mặt phẳng, và những hình lát gạch đó cũng có thể cho ra những
tác phẩm đẹp mắt.
Hình 30 là những ví dụ về lát gạch trên hình cầu. Vấn đề lát gạch phủ hình cầu liên qua đến vấn
đề phân loại các đa diện đều và gần đều, mà chúng ta sẽ bàn tới trong Chương ??.
Có thể hình dung mặt hyperbolic dưới dạng một cái đĩa (không có biên), gọi là đĩa Poincaré.
Khoảng cách trên đĩa đó không giống khoảng cách trên mặt phẳng bình thường, mà tăng lên rất
nhanh khi các điểm tiến tới gần biên của đĩa.
Hình 31 là ví dụ về lát mặt hyperbolic bằng hình hoa hồng đã cắt mép thành lục giác (cho hoa
hồng trắng) hoặc tứ giác (cho hoa hồng đỏ) hyperbolic, sử dụng phần mềm toán học của Malin
Christersson. Chú ý là, tuy các hoa hồng càng gần mép đường tròn thì trông càng bé tí xíu,

27

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Hình 30: Một quả cầu trang trí “Thiên thần và quỷ sứ” dựa theo tranh Escher có bán trên amazon,
và hai mô hình lát gạch hình cầu bằng giấy và đất sét của Makoto Nakamura.

Hình 31: Lát mặt hyperbolic bằng ảnh hoa hồng, sử dụng phần mềm online từ trang mạng
http://www.malinc.se/ của Malin Christersson.
nhưng đối với khoảng cách hyperbolic thì tất cả các bông hoa hồng trên cùng một hình đều to
bằng nhau.

6. Lát gạch không tuần hoàn

Vào năm 1982, nhà vật lý Dan Shechtman phát hiện ra sự tồn tại của những vật rắn mà cấu trúc
phân tử của nó không tuần hoàn. Người ta gọi những cấu trúc này là giả tinh thể (quasicrystal).
Nhờ phát hiện đó mà ông đã được giải Nobel vào năm 2011.

28

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Về mặt toán học, cấu trúc giả tinh thể có thể được hiểu như là việc lát phủ kín không gian bằng
một vài loại viên gạch, một cách không tuần hoàn. Các kiểu lát gạch không tuần hoàn và các
cấu trúc giả tinh thể vẫn đang là một đề tài nghiên cứu khoa học quan trọng ngày nay.

Hình 32: Bộ 6 kiểu viên gạch của Raphael Robinson, và hai bộ gạch của Penrose mỗi bộ 2 viên.

Người ta đã xây dựng các lý thuyết về các kiểu gạch có tính chất ép cho việc lát gạch không thể
tuần hoàn. Raphael Robinson có lẽ là người đầu tiên chứng minh được, vào năm 1971, về sự tồn
tại của những kiểu viên gạch lát kín được mặt phẳng sao cho không thể lát chúng một cách tuần
hoàn. Ông nghĩ ra một bộ 6 hình viên gạch như trên Hình 32 bên trái. Dùng các viên gạch như
thế có thể lát kín mặt phẳng, như là minh họa trên Hình 33. Chỉ có điều, mỗi hình vuông màu
da cam do gạch lát tạo nên đều bắt buộc nằm ở góc của một hình vuông màu da cam to hơn. Từ
đó suy ra là hình lát gạch không thể tuần hoàn.

Bộ viên gạch lát không thể tuần hoàn đơn giản và nổi tiếng nhất có lẽ thuộc về nhà toán học và
vật lý Roger Penrose (sinh năm 1931). Một bộ gạch của Penrose chỉ gồm có 2 hình viên gạch,
tđ3h5πềểu(ctlưộàơnhngìgnvhtớựithnnohhiưa,unlàhthưcàátncrhêgn2óπHc ìcđnủểhal3ánt2gkũởhgớgipiáữctaạ.điCềcuááccvàgđóỉcncủhac.ủhMaìnộchtácbsaộhoìgn5ạhcchtáhn2ohivđđiêềónul)ầk,nhváàlcưbợcởtủilaàvPậπ5ye,nc4r5hπoú,sne25,πgvcvớóài
một viên hình cánh diều và một viên hình mũi tên, như trên Hình 32 bên phải, cũng có các tính
chất tương tự. Các viên gạch kiểu Penrose có được sản xuất và dùng để lát sàn nhà ở nhiều nơi
trên thế giới.

Penrose không phải là người đầu tiên nghĩ ra các viên gạch có góc là bội số kcỷủaXπV5 .IÔ-XnVgIlIấ.yTừý
tưởng đó từ các tác phẩm của Albrecht Du¨rer và Johannes Kepler từ thời thế

trước đó nữa, các nghệ sĩ Hồi giáo (ắt hẳn đồng thời cũng là những nhà toán học) đã nghĩ ra

việc dùng các “viên gạch” như trên Hình 35, gọi là girih, có các góc là bgộiáiccủvớaiπ5c,áđcểglóáct trang
trí. Viên girih to nhất có hình thập giác đều. Tiếp đến là viên hình lục nhọn

bằng 2π và các góc tù bằng 4π . Tiếp đó là hình cái nơ con bướm với các góc nhọn cũng bằng 2π ,
5 5 5
rPồeirshiìanhcóthnogihvĩaớilàcá“cđưgóờcngnhnọúnt”c, ũđnểgchbỉằncgác25đπư, ờvnàgsatruancùgntgrílgàấhpìnkhhúncgũđưgợiáccvđẽềturê. nGviriiêhntghạecoht.iếng

Các viên gạch trên Hình 35 xuất hiện từ quãng cuối thế kỷ XII ở Thổ Nhĩ Kỳ, với công dụng là
giúp các nghệ nhân trong việc thiết kế hình trang trí, còn bản thân kiểu trang trí girih của Hồi
giáo đã có từ trước đó. Sau khi có bản thiết kế thì các nghệ nhân không cần phải làm ra các viên
gạch như trên Hình 35, mà cốt làm sao xây được tường với hoa văn girih giống trong bản thiết
kế. Trên các bức tường trang trí girih, nói chung sẽ không nhìn thấy biên của các “viên gạch
girih” như trên, bởi vì thực ra không có các viên gạch đó.

29

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Hình 33: Lát mặt phẳng bằng các viên gạch của Robinson.

Với kiểu thiết kế girih, người Hồi giáo đã không chỉ tạo được những hình nghệ thuật lát tường

tuần hoàn, mà cả những hình không tuần hoàn nhưng có đối xứng khác, ví dụ như đối xứng kiểu

sao 5 cánh hay 10 cánh (đối xứng quay theo góc “π5v, ikêhnôgnạgchth”ểgtiuriầhnchhoỉ àcnó nếu có đối xứng quay
này), như trên Hình 36 và Hình 37. Hơn nữa, các tính chất trợ giúp cho

thiết kế cho dễ thôi, chứ một hình trang trí girih không nhất thiết phải xếp được từ đúng các

“viên gạch girih” đó, mà có những chỗ có thể lệch đi, dùng những góc khác, “gạch” khác.

7. Các trang web có thể tham khảo

• https://en.wikipedia.org/ (rất nhiều thông tin được tra từ Wikipedia).
• http://bridgesmathart.org (trang web của hội nghị quốc tế thường niên về toán

học và nghệ thuật Bridges: Mathematical Connections in Art, Music, and Science, với rất
nhiều triển lãm hay).
• http://www.mathaware.org/mam/03/ (trang web của AMS với nhiều tài liệu về
toán và nghệ thuật).

• http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/math-art-arch.html
(một cua bài giảng về toán học và nghệ thuật tại NUS, Singapore).

30

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Hình 34: Tranh sơn dầu của họa sĩ Urs Schmid (1995) vẽ một kiểu lát gạch Penrose dùng các
viên gạch hình thoi.

Hình 35: Các viên girih.
• http://www.malinc.se/ (làm các hyperbolic tilings).
• https://plus.maths.org/content/teacher-package-maths-and-art

(toán học và nghệ thuật cho giáo viên).
• http://www.maths2art.co.uk/
• https://www.artofmathematics.org/

31

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Hình 36: Bìa một quyển kinh Quoran từ thế kỷ XIV, và thiết kế girih của nó. Nguồn: David
James, Qur’ans of the Mamluks (Thames & Hudson) & aramcowworld.com.

Hình 37: Khu lăng tẩm “Shah-i Zinda” (“Vua Sống”) ở Samarquand, Uzbekistan (ảnh của Fulvio
Spada), và một trang trí girih bên trong.

• http://tiasang.com.vn/Default.aspx?tabid=113&CategoryID=6&News=
9429 (bài báo “Ích gì, toán học?” của GS Hà Huy Khoái).
32

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

• http://www.ams.org/samplings/math-and-music (trang về nhạc của AMS).
• http://im-possible.info/english/index.html (trang web với tranh không

tưởng của nhiều họa sĩ).
• http://thomay.vn (trang thơ máy).
• https://imaginary.org (Open mathematics).
• http://3d-xplormath.org/
• http://virtualmathmuseum.org/
• http://people.eecs.berkeley.edu/~sequin/SCULPTS/ (tượng toán học

của Carlo Séquin).
• http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/math-art-arch.html
• http://peinture-mathematique.fr/index.html (các tranh nghệ thuật chủ

đề toán học rất đẹp của Silvie Donmoyer).
• http://www.apprendre-en-ligne.net/blog/index.php/Art-et-maths
• http://www.maths-et-tiques.fr
• http://dfgm.math.msu.su/myths.php (trang web có tranh của Fomenko).
• http://mathbun.com
• http://thirddime.com/
• https://plus.maths.org
• http://mandelwerk.deviantart.com/
• http://talesofcuriosity.com (Xem thơ limerick có minh họa của Edward Lear).
• http://www.bl.uk/works/alices-adventures-in-wonderland (British

Library).
• https://www.fulltable.com (Xem Alice in the Wonderland).
• http://blog.kleinproject.org/?p=1381 (Lisbon).
• journal.eahn.org/articles/10.5334/ah.bv/ (Matthew A Cohen: Two kinds

of proportions).
Journal of mathematics and the arts có một tạp chí khoa học về đề tài: Toán học trong các
nghệ thuật.

33

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

TÔ PÔ HỌC VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ

Nguyễn Ái Việt
(Viện Công Nghệ Thông Tin, Đại Học Quốc gia Hà Nội)

TÓM TẮT

Giải thưởng Nobel Vật lý năm 2016 được trao cho ba nhà vật lý lý thuyết trong lĩnh vực
vật chất đông đặc là David Thouless, Michael Kosterlitz và Duncan Haldane về các pha
tô pô của vật chất và chuyển pha giữa chúng. Hiện tượng chuyển pha tô pô gắn liền với
việc phát hiện ra các vật liệu mới với các tính chất kỳ lạ như siêu dẫn không có điện trở
hoặc siêu lỏng không có độ nhớt hoặc các vật liệu Hall lượng tử hoặc phân số. Chính các
vật liệu này sẽ là cơ sở để chế tạo ra các máy tính lượng tử vượt mọi giới hạn tính toán
của thế hệ máy tính hiện nay.

Ứng dụng tô pô học thế nào?

Tô pô học ra đời không gắn liền với một ứng dụng thực tế nào. Các tư tưởng ban đầu của tô pô
được manh nha bởi Leinitz và Euler dưới những tên gọi "giải tích vị trí" hoặc "hình học vị trí".
Các bài toán ban đầu của tô pô như "tô màu bản đồ" hoặc "bảy chiếc cầu ở Ko¨nigsberg" đều
mang tính giải trí nhiều hơn là mở ra một lĩnh vực có thể ứng dụng thực tiễn. Theo một khía
cạnh nào đó, các đối tượng hình học được nhúng trong các không gian có tô pô khác nhau sẽ
có những tính chất khác nhau. Chẳng hạn các đường cong đóng trên một mặt cầu và một mặt
xuyến sẽ có các tính chất khác nhau. Tuy nhiên cho đến trước công trình nổi tiếng "Giải tích
vị trí" của Henri Poincaré các tính chất tô pô còn rất mù mờ. "Giải tích vị trí" có vai trò định
hướng nghiên cứu trong lĩnh vực này có ảnh hưởng cho tới ngày nay.

Nói một cách dễ hiểu, các đối tượng hình học tồn tại trong các không gian có một cấu trúc tô
pô xác định. Các cấu trúc này bất biến với các phép biến đổi liên tục. Như vậy một chiếc bánh
vòng có tô pô giống như một chiếc cốc có quai hơn là một cái bánh rán, tuy cùng là bánh và
cùng được rắc vừng. Trên bề mặt của chiếc bánh rán mọi đường cong kín đều có thể co về một
điểm. Ngược lại, trên bề mặt của chiếc cốc có quai và bánh vòng có thể có hai loại đường cong
kín: loại thứ nhất có thể co về một điểm và loại thứ hai đi vòng quanh cái quai cốc hoặc xung
quanh lỗ của bánh vòng sẽ không thể co về một điểm. Do đó các định lý hình học và các tích
phân theo các đường cong nói trên sẽ thay đổi. Tổng quát hơn, người ta có thể có các "không
gian tô pô" với nhiều lỗ (hoặc nhiều quai). Số lượng lỗ của một không gian tô pô là một bất biến
được nghiên cứu bởi lý thuyết đồng luân trong tô pô học.

34

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Hình 1: Bánh vòng và tách cà phê giống nhau về tô pô

Đối với các nhà toán học, ứng dụng các ý tưởng trừu tượng như thế vào thực tế là việc khá viển
vông. Trong thực tế việc đưa các ý tưởng tô pô vào vật lý là một quá trình khó khăn và trắc trở.
Tuy nhiên, điều khá bất ngờ hơn là một loạt vật liệu mới có nhiều tính chất kỳ lạ đặc nhờ các
tính chất tô pô của các không gian vật lý.

Các vật liệu có tính chất kỳ lạ

Trong chương trình vật lý phổ thông, chúng ta biết rằng vật liệu có thể dẫn điện với một điện
trở R nào đó. Khi R = ∞ vật liệu được gọi là chất cách điện. Người ta cũng đã phát hiện ra
một loại vật liệu gọi là bán dẫn, có điện trở thay đổi trong một số điều kiện khác nhau. Vật
liệu bán dẫn được sử dụng để chế tạo các máy tính ngày nay. Năm 1911, nhà vật lý người Hà
Lan H.Kamerlingh Onnes (Giải thưởng Nobel 1913), đã phát hiện ra tính chất siêu dẫn của thủy
ngân khi bị làm lạnh xuống dưới nhiệt độ T = 4.2K, sẽ có điện trở R = 0. Do đó, dòng điện
chạy trong một vòng siêu dẫn sẽ tạo ra từ trường mà không mất năng lượng. Đó chính là nguyên
tắc công nghệ để tạo ra từ trường lớn trong các máy gia tốc hiện đại.
Loại vật liệu có tính chất kỳ lạ thứ hai là chất siêu lỏng. Năm 1937, nhà vật lý Xô viết Pyotr
Kapitsa (Giải thưởng Nobel 1978) đã phát hiện ra rằng chất helium 4 hóa lỏng dưới nhiệt độ
T = 2.17K sẽ có tính siêu chảy, với độ nhớt bằng không. Nói một cách trực giác thì tính siêu
chảy như sau: Nếu chúng ta đổ chất siêu chảy vào một ống nghiệm, chất siêu chảy sẽ tự "bò"
qua thành ống cho đến hết như trong Hình 2.
Trong cả hai loại vật liệu trên, tính chất kỳ lạ xuất hiện ở nhiệt độ thấp. Tại một nhiệt độ thấp
nào đó sẽ có hiện tượng chuyển pha vật liệu đang là chất lỏng thường biến thành siêu lỏng, đang
là chất dẫn điện thường biến thành siêu dẫn. Lý thuyết chuyển pha được nhà vật lý Xô Viết Lev
Landau (Giải thưởng Nobel 1962) phát triển để giải thích các hiện tượng chuyển sang pha siêu
dẫn và siêu lỏng. Đặc biệt trong pha siêu dẫn và siêu lỏng, các hạt electron vốn đẩy nhau trong

35

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Hình 2: Chất siêu chảy, tự động bò qua thành ống nghiệm

trạng thái tự do, do tương tác với mạng tinh thể của vật chất xung quanh, trở nên hút nhau và
tạo thành các cặp Cooper, gây nên hiện tượng siêu dẫn. Ở nhiệt độ thấp hơn một mức nào đó,
chuyển động nhiệt không đủ năng lượng để phá hủy các cặp Cooper, trạng thái siêu dẫn trở nên
bền vững.

Năm 1986, các nhà vật lý của công ty IBM là G.Bednorz và K.Mu¨ller (Giải thưởng Nobel 1987)
đã phát hiện ra các vật liệu gốm từ có tính siêu dẫn ở nhiệt độ cao T = 138K, tức là nhiệt độ của
nitrogen lỏng. Năm 2015, người ta đã tìm được vật liệu có tính siêu dẫn ở nhiệt độ T = 203K.
Lý thuyết chuyển pha Landau, không thể giải thích được hiện tượng siêu dẫn nhiệt độ cao. Mặc
dù có một số mô hình có thể giải thích về mặt định lượng hiện tượng siêu dẫn nhiệt độ cao.
Nhưng cho đến nay vẫn chưa có một lý thuyết nào giải thích được hiện tượng siêu dẫn nhiệt độ
cao một cách thuyết phục.Có một điều chắc chắn trong các mô hình cho gốm từ siêu dẫn, các
tính chất tô pô của không gian vật lý đóng một vai trò quan trọng.

Từ những năm 1970, các nhà vật lý đã quan tâm đến các vật liệu 2 chiều như các màng mỏng,
vật liệu graphene là các màng carbon có cấu trúc tổ ong. Nhờ công nghệ phát triển, các màng
này có thể đạt tới độ mỏng ở quy mô nguyên tử. Khi đó các phần tử mang điện là electron chỉ
có thể chuyển động trong không gian hai chiều. Các vật liệu này có những pha có tính chất kỳ
lạ. Chẳng hạn, năm 1980 nhà vật lý người Đức K.Von Klizing (Giải thưởng Nobel 1985) đã tìm
thấy một số vật liệu 2 chiều ở một nhiệt độ đủ thấp sẽ có hiệu ứng Hall lượng tử. Độ dẫn điện
của các vật liệu này sẽ thay đổi theo bội số nguyên của một lượng không đổi nào đó khi tăng
cường độ từ trường ngoài đặt vuông góc với vật liệu này. Điều kỳ lạ là các trạng thái với độ dẫn
nhất định tồn tại khá ổn định trọng một phạm vi vào đó của từ trường. Tính ổn định này liên
quan tới đặc trưng tô pô của không gian vật lý, phụ thuộc vào không gian này có bao nhiêu lỗ.

Một số vật liệu 2 chiều khác lại có quy luật thay đổi độ dẫn điện Hall bằng phân số với mẫu số
lẻ trong thí nghiệm tương tự như trên. R.Laughlin (Giải thưởng Nobel 1998) đã giải thích được
hiện tượng này cho trường hợp tử số bằng 1. Trong thực tế, các trường hợp tử số khác 1 đều
quan sát được. Cho đến nay vẫn chưa có giải thích thuyết phục cho các trạng thái này.

Tuy vậy, với các công trình của D.Thouless, M.Kosterlitz và D.Haldane được giải thưởng Nobel
năm nay, người ta tin rằng, các thuộc tính kỳ lạ của các vật liệu mới, đặc biệt là vật liệu hai
chiều là hệ quả của các tính chất tô pô và có chuyển pha giữa các pha có đặc trưng tô pô khác
nhau. Như vậy, không như người ta tưởng, các tính chất tô pô không chỉ là một trò chơi trí tuệ
và làm nền tảng cho hình học, mà còn là các quy tắc tạo nên thế giới vật chất.

36

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

So với các ngành toán học khác, tô pô tìm thấy ứng dụng thực tế rất muộn màng sau khi ra đời
và phát triển. Chúng ta hãy đi tìm lý do tại sao.

Tô pô học và vật lý

Năm 1834, Ngài John Scott Russel cưỡi ngựa đi dọc theo kênh đào Union (Scottland) và nhìn
thấy các xoáy nước trôi. Ông đuổi theo các xoáy nước này tới vài dặm và đặt câu hỏi: xoáy nước
là gì, tại sao chúng lại có hình dạng và kích thước ổn định như vậy. Sau này các xoáy nước được
gọi là soliton và là lời giải ổn định của phương trình Navier-Stokes, một phương trình vi phân
phi tuyến. Các lời giải ổn định là do chúng có năng lượng cực tiểu.

Sau khi Albert Einstein xây dựng thành công lý thuyết tương đối rộng làm nền tảng cho vũ trụ,
ông đặt kế hoạch xây dựng lý thuyết trường thống nhất. Trong lý thuyết này, mọi tương tác đều
có bản chất hình học và mô tả bởi một phương trình vi phân phi tuyến. Khi đó, người ta chỉ
biết có hai tương tác là hấp dẫn mô tả bởi phương trình Einstein và tương tác điện từ mô tả
bởi phương trình Maxwell. Einstein hy vọng rằng các hạt vật chất (khi đó người ta chỉ biết có
electron và proton) sẽ được mô tả bởi các lời giải soliton của các phương trình phi tuyến.

Einstein không bao giờ thực hiện được ý tưởng đó của mình. Cho đến ngày nay, thế hệ các nhà
vật lý và toán học vẫn đang tiếp tục theo ý tưởng của ông để tìm "Lý thuyết Vạn vật". Trong đó
việc sử dụng các công cụ mới nhất của tô pô học hết sức quan trọng. Vào thời của Einstein, các
nhà toán học vẫn chưa hiểu được mối liên quan giữa tô pô và sự ổn định của các lời giải soliton.
Einstein cũng không có các công cụ của tô pô, sau này được một thế hệ các nhà toán học xuất
sắc như Chern, Atyiah, Grothendieck, Pontrijagin,...phát triển vào những năm 1950-1960.

Một ví dụ khác là nhà vật lý Tony Skyrme, cuối những năm 1950 đã thực hiện thành công việc
đưa ý tưởng soliton vào vật lý và sử dụng một cách chính xác các bản chất tô pô, mà sau này
người ta mới hiểu được. Ông đã mô tả được các lực hạt nhân một cách đẹp đẽ và chính xác, và có
ảnh hưởng cho đến ngày nay. Rất tiếc là các công trình đương thời của Skyrme không có nhiểu
người hiểu và được chia sẻ. Vào những năm 1960-1970, người ta mới bắt đầu hiểu mối quan hệ
giữa soliton và các đặc trưng tô pô và đặc biệt là các lời giải soliton có spin bán nguyên. Công
trình năm 1985 của G.Adkin, C.Nappi và E.Witten về mô hình Skyrme đã tạo nên một cơn sốt
thực sự nhằm khai thác ý nghĩa toán học và khả năng ứng dụng soliton trong vật lý. Ngày nay,
mô hình Skyrme đã trở nên phổ biến trong tất cả các lĩnh vực vật lý.

Các ví dụ trên cho thấy việc ứng dụng tô pô hết sức chậm chạp có ba lý do. Thứ nhất, tô pô chỉ
phát triển mạnh sau công trình Analysis Situs của Henri Poincaré và đặc biệt phải đợi tới những
năm 1950-1970, khi các ý tưởng liên quan cần thiết trở nên chín muồi. Thứ hai, các ý tưởng ứng
dụng tô pô có liên quan khá nhiều tới các lĩnh vực khác, mà toán học phải có thời gian để làm
rõ. Thứ ba, các nhà toán học không có sự chuẩn bị cho việc ứng dụng tô pô vào thực tế, do đó
không có sự hậu thuẫn kịp thời cho các bước đột phá như trường hợp của lý thuyết Skyrme.

Dù muộn màng, nhưng ngày nay tô pô học cũng đã đi vào cuộc sống. Các vật liệu mới với các
tính chất kỳ lạ có những tính chất tô pô hết sức đẹp đẽ. Có thể đó mới là sự mở đầu cho việc
ứng dụng tô pô trong thực tế.

37

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Vật liệu tô pô và máy tính lượng tử

Máy tính ngày nay được xây dựng chủ yếu dựa trên các tính chất của vật liệu bán dẫn và các vật
liệu từ. Các vật liệu mới có nhiều tính chất kỳ lạ và phong phú hơn nhiều, có thể sẽ giúp chúng
ta xây dựng các thiết bị thông minh hơn.

Từ nghiên cứu cơ bản đến công nghệ là một đoạn đường dài. Tuy nhiên vào những năm 1970
khi đưa ra ý tưởng truyền thông tin trong sợi quang học, không ai có thể hình dung được ngày
nay, cáp quang đã đến mọi nhà với tốc độ truyền tin hàng triệu lần hơn so với cách đây 20 năm.

Thế hệ máy tính hiện nay dựa trên khái niệm bit lấy giá trị logic 0 và 1. Tất cả thông tin được xử
lý trong máy tính hiện đại đều quy về các phép toán với 0 và 1. Để xử lý một số lượng tính toán
khổng lồ, người ta cần phải dùng một số lượng khổng lồ các mạch logic vô cùng nhỏ. Năm 2016
số mạch logic có trong một chip điều khiển trung tâm (CPU) của Intel đã tới con số trên 7.2 tỷ.
Rõ ràng, phải có giới hạn cho việc thiết kế quá nhiều mạch logic trong một chip điều khiển.

Máy tính lượng tử được chờ đợi là bước phát triển có tính chất cách mạng dựa trên khái niệm
qbit (bít lượng tử) có thể lấy giá trị 0 và 1 với các xác suất khác nhau tương ứng với các trạng
thái lượng tử của một nguyên tử. Do đó năng lực tính toán, xử lý thông tin của máy tính lượng
tử là gần như vô tận.

Một trong những vấn đề quan trọng nhất của máy tính lượng tử là làm thế nào các trạng thái có
thể ổn định và bền vững. Các trạng thái lượng tử nói chung là không bền vững, do hệ thức bất
định của Heisenberg và các hiệu ứng lượng tử. Điều đó cũng có phần nào giống như sự ổn định
của các xoáy nước trên mặt nước.

Chính ổn định nhờ bất biến tô pô sẽ làm các trạng thái lượng tử trở nên bền vững. Các hệ Hall
lượng tử phân số đều có những trạng thái lượng tử bền vững được ổn định nhờ bất biến tô pô.
Chính đây là chìa khóa để giải quyết sự ổn định của các qbit trong máy tính lượng tử.

Gần đây đã có những bước tiến đáng kể về mặt này, để người ta hy vọng có đột phá trong việc chế
tạo các máy tính lượng tử. Chính vì vậy mà các công trình của Thouless, Kosterlitz và Haldane
sẽ có ảnh hưởng lớn đến sự phát triển tương lai của nhân loại.

Lời kết

Khác với mọi ngành toán học khác, các ứng dụng theo quy luật của tô pô như các vật liệu mới
không được hình thành ngẫu nhiên trong tự nhiên. Vật liệu mới trên cơ sở gốm từ, hệ điện tử
hai chiều, chuyển pha tô pô và máy tính lượng tử đều là sáng tạo của con người, thay Chúa điều
khiển và biến đổi tự nhiên.

Tô pô học đã trải qua một con đường dài và khá vòng vèo để đi vào thực tế. Để ứng dụng vào
thực tế, cần quá nhiều khái niệm liên quan và các tư tưởng ứng dụng cũng rất tinh tế và khó hiểu
ngay với các nhà toán học. Nhưng chính điều đó mà chúng ta tin rằng, chúng ta đang ở ngưỡng
cửa của một thời kỳ toán học, vật lý và công nghệ đang có sự phối hợp để có bước phát triển
thần kỳ.

38

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

VỀ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TRONG TOÁN HỌC

Terence Tao
(University of California, Los Angeles)

Người dịch Phùng Hồ Hải

Trong khi việc nâng cấp ứng dụng câu hỏi trắc nghiệm của tôi lên một định dạng hiện đại và
tương tác hơn đang được thực hiện, tôi nghĩ rằng đây là một thời điểm tốt để thu thập ý kiến và
những suy nghĩ của tôi về việc những câu hỏi trắc nghiệm hiện đang được sử dụng trong giảng
dạy toán học, và về những hình thức tiềm năng của chúng có thể được sử dụng trong tương lai.
Ý kiến của tôi là câu hỏi trắc nghiệm có những hạn chế đáng kể khi sử dụng trong các lớp học
với mô hình truyền thống, nhưng có rất nhiều tiềm năng thú vị và chưa được khai thác khi được
sử dụng như một công cụ tự đánh giá.

1. Câu hỏi trắc nghiệm trong lớp học

Về nguyên tắc, có vẻ rằng bản chất rõ ràng và chính xác của các mệnh đề toán học sẽ có thiên
hướng cho phương thức trắc nghiệm, trái ngược với một số lĩnh vực tri thức khác, nhiều câu hỏi
trong toán học có một câu trả lời chính xác duy nhất, khách quan, với tất cả các câu trả lời khác
được đồng thuận coi là không chính xác. Với một bài kiểm tra trắc nghiệm, học sinh có thể được
thử nghiệm trên các câu hỏi như vậy một cách khách quan. Thực vậy, chấm điểm cho các câu đố
đó thậm chí có thể được tự động được thực hiện bởi một máy tính hoặc quét máy. Miễn là câu
hỏi được phát biểu một cách rõ ràng (và đáp án là chính xác), việc chấm điểm đơn giản hơn các
phương tiện kiểm tra khác. Điểm mạnh cuối cùng là, hình thức thi trắc nghiệm rất quen thuộc
với hầu như tất cả các sinh viên đại học (những người đã có thể phải vượt qua kỳ thi trắc nghiệm
để nhập học) và như vậy các quy tắc của các bài kiểm tra đòi hỏi rất ít lời giải thích.

Mặt khác, hình thức trắc nghiệm, như đang được sử dụng trong các kỳ thi toán, có một số điểm
yếu nghiêm trọng, theo ý kiến của tôi, làm cho nó kém hơn so với các hình thức kiểm tra khác
trong các khóa học toán ở mức cao hơn, mặc dù có nhiều cách để loại bỏ các khiếm khuyết rõ
ràng nhất của hình thức thi này. Có lẽ vấn đề rõ ràng nhất là cách tiếp cận không khoan nhượng
với những sai lầm, có thể bóp méo các mối quan hệ giữa khả năng và đánh giá: một học sinh đã
có cách tiếp cận đúng cho một câu hỏi, nhưng thực hiện một lỗi nhỏ một hoặc hơi hiểu lầm câu
hỏi, có thể mất toàn bộ điểm câu hỏi đó, trong khi một học sinh không hề biết phải làm gì, và
chỉ đơn giản là đoán ngẫu nhiên, có thể kiếm được điểm cho một câu hỏi trắc nghiệm thuần túy
nhờ may mắn, trong các hình thức kiểm tra khác điều này khó xảy ra hơn nhiều. (Tất nhiên, ta
có thể giảm thiểu vấn đề này bằng cách xây dựng các câu hỏi đơn giản và rõ ràng, và đảm bảo
rằng các câu trả lời không chính xác sinh ra bởi những lỗi nhỏ không được đưa ra như là một

39

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

trong những lựa chọn.) Một vấn đề nữa của câu hỏi trắc nghiệm là dễ bị một số loại gian lận và
tiêu cực hơn các hình thức kiểm tra khác, vì đáp án dễ dàng được sao chép và sử dụng, thậm chí
bởi những học sinh không thực sự hiểu các tài liệu. (Vấn đề cụ thể này có thể phần nào được
bảo vệ bằng cách xáo trộn các câu hỏi riêng cho từng học sinh, mặc dù điều này tất nhiên làm
việc chấm bài cũng như việc cung cấp đáp án khó khăn hơn.) Một vấn đề thứ ba là khi học sinh
thu được câu trả lời không nằm trong số các lựa chọn được liệt kê sẽ có khuynh hướng làm bừa,
nhiều khi lý luận phi logic để đi đến một trong những câu trả lời được liệt kê, đó không phải là
một thói quen tốt để thấm nhuần vào một nhà toán học.

Tuy nhiên, một vấn đề sâu sắc hơn, là những câu trắc nghiệm này cho một ấn tượng sai lệch về
việc thế nào là giải một bài toán, và làm thế nào để thực hiện điều đó. Trong nghiên cứu toán
học, các câu hỏi không thường đi kèm với một danh sách của năm phương án, một trong số đó
là chính xác. Thông thường, hình dung ra những câu trả lời tiềm năng, có lý, hoặc nhiều khả
năng xảy ra, hoặc thậm chí kiểu câu trả lời được mong đợi hay đặt vấn đề liệu có nên hỏi câu
hỏi đó, cũng quan trọng không kém việc xác định câu trả lời đúng. Câu hỏi trắc nghiệm có xu
hướng khuyến khích cho các cách tiếp cận nhanh-chóng-và-không-lành-mạnh hoặc cẩu thả để
giải quyết vấn đề, trái ngược với cách tiếp cận thận trọng, cân nhắc, và tinh tế. Đặc biệt, câu hỏi
như vậy có xu hướng khuyến khích việc áp dụng nguyên si quy tắc hình thức để đi đến câu trả
lời, mà không dành nhiều suy nghĩ về việc liệu những quy định là thực sự áp dụng được đối với
vấn đề đang xét hay không. (Thực ra, đào sâu quá mức về một đề trắc nghiệm, tìm kiếm những
mẹo mực, những chỗ thiếu chặt chẽ, hoặc đặc biệt trong cách diễn đạt câu hỏi, hoặc cố gắng để
chơi một số loại “luật chơi”, trong đó cố gắng thần thánh hóa mục đích của người ra đề [xem
cảnh này từ vở “The Princess Bride” cho một ví dụ cực đoan này], có thể làm cho những sinh
viên khá hơn, hiểu nội dung kiến thức, lại có kết quả tồi tệ hơn so với những người chỉ đơn giản
là việc áp dụng các quy tắc mà họ được dạy mà không có sự hiểu nội dung kiến thức. Ngược
lại, một đề bài quá mẹo, được thiết kế để bẫy những học sinh áp dụng quy tắc một cách cẩu thả,
không kiểm tra xem nó có áp dụng được không, thường sẽ được cảm nhận (khá đúng) như là
không công bằng với học sinh.) Trong khi việc luyện tập các quy tắc cơ bản (ví dụ như các quy
tắc và thuật toán trong môn Giải tích) chắc chắn là cần thiết, đặc biệt là ở cấp trung học và giai
đoạn đầu đại học môn toán, tại thời điểm chuyển lên giai đoạn cao hơn trong bậc đại học sinh
viên cần bắt đầu hiểu những cơ sở lý thuyết và những giải thích cho những quy tắc đó, như là
một phần của việc phát triển tư duy căn bản đối với môn học. (Ngoài ra, khi học những môn
nâng cao, sẽ có nhiều ngoại lệ và điểm yếu đối với bất kỳ quy tắc nào kiến việc áp dụng nó một
cách không suy nghĩ trở nên nguy hiểm. Ví dụ, tính toán một tích phân đường bằng cách tịnh
tiến đường rất dễ cho một câu trả lời sai nếu không có một cảm giác tốt khi nào tích phân sẽ hội
tụ tới không khi chuyển qua một giới hạn, và khi nào thi không hội tụ. Cách học thuộc một số
quy tắc dễ nhớ rằng khi nào có thể tích phân an toàn và khi nào không, thì sẽ thất bại vì có rất
nhiều biến thể khác nhau, đặc biệt là trong các ứng dụng thực tế, cách duy nhất đáng tin cậy để
tiến hành là để thực sự hiểu cách ước lượng tích phân và tính toán giới hạn).

Nhưng có lẽ hơn tất cả, câu hỏi trắc nghiệm thúc đẩy ý tưởng rằng câu trả lời cho một câu hỏi
toán học là quan trọng hơn so với quá trình đi đến câu trả lời đó (và những hiểu biết thu được
trong quá trình đó, và nghệ thuật trao đổi việc đó một cách hiệu quả với người khác ). Sự thật,
quá trình này quan trọng hơn nhiều so với câu trả lời, đặc biệt đối với một câu hỏi nhân tạo,
chẳng hạn như là một câu hỏi thiết kế cho mục đích kiểm tra. Biết được quá trình suy luận được
thực hiện bởi sinh viên để đi đến một câu trả lời - thậm chí là một trả lời sai - sẽ cung cấp cho
ta một bức tranh chi tiết về khả năng của học sinh khi xử lý những câu hỏi tương tự (hoặc phức
tạp hơn) trong tương lai, trong khi việc học sinh lựa chọn một câu trả lời đúng trong số năm giải

40

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

pháp cho ta ít hơn nhiều thông tin về vấn đề này. Việc xác định điểm mạnh và điểm yếu cụ thể
trong lý luận của học sinh cho nhiều phản hồi có giá trị hơn trong quá trình chấm điểm so với
chỉ đơn giản là biết xem một câu hỏi được đưa ra đã được trả lời một cách chính xác hoặc không
chính xác.

2. Trắc nghiệm như hình thức tự kiểm tra

Tôi đã thảo luận những hạn chế của việc sử dụng câu hỏi trắc nghiệm trong kỳ thi trên lớp học,
đặc biệt là trong các khóa học toán học tại những năm cuối đại học. Mặt khác, tôi cảm thấy rằng
các câu hỏi như vậy có thể đóng một vai trò hỗ trợ rất hữu ích trong việc tự kiểm tra cho các
khóa học này, đặc biệt là liên quan đến các nội dung kiến thức cơ bản (ví dụ định nghĩa hoặc
các quy tắc cơ bản của tính toán). Tôi sẽ chứng minh điều này với một khóa học giả định về đại
số ở trung học phổ thông, mặc dù điểm này là chắc chắn áp dụng cho nhiều khóa học toán học
ở câp cao hơn.

Giả sử khóa đại số này nhằm dạy cho học sinh cách giải các phương trình đại số. Tất nhiên có

nhiều cạm bẫy thông thường mà học sinh gặp phải khi thực sự cố gắng để giải quyết các phương

trình pđóy,, một trong những ví DdụppyhổhobặiếcnxlàD, từ pphyư.ơBnâgytrgìinờh, như x2 Dy kết luận sai rằng
xD khi thay vì nói là x ta có thể cảnh báo lỗi này trong

các lớp học, và học sinh thậm chí có thể viết ra cảnh báo này khi ghi chú, nhưng nó vẫn lặp lại

quá thường xuyên trong khi giải quyết bài toán đại số phức tạp hơn trong một bài thi (hoặc tệ

hơn, trong một ứng dụng thực tế của đại số). Khi đó, các sinh viên cũng có thể nhận ra nguyên

nhân của lỗi - nhưng phản hồi này có thể đến sau nhiều ngày hoặc nhiều tuần từ lần đầu tiên,

nếu không được nhắc đi nhắc lại, các lỗi tương tự thì có thể tái phát sau này trong khóa học,

hoặc trong các khóa học tiếp theo. Lặp đi lặp lại tiếp xúc với đại số cuối cùng sẽ loại bỏ các lỗi,

nhưng nó có thể là một quá trình không hiệu quả. Đây là nơi mà một sự lựa chọn nhiều bài trắc

nghiệm tự làm (đặc biệt, một bài kiểm tra trực tuyến) có thể giúp đỡ, với những câu hỏi như:

Câu hỏi 1. Nếu x và y là các số thực thỏa x2 D y, điều đúng nhất chúng ta có thể nói về x là

a) x D py:
b) x D y2:
c) x D y 2:
d) x D py hoặc x D py:
e) x D y 2 hoặc x D y 2:

hoặc pha trộn với nhau với các biến thể như
Câu hỏi 2. Cho x và y là các số thực. Khẳng định nào sau đây là không đủ để ngụ ý rằng
x2 D y?

a) x D py:

41

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

b) x D py:
c) x D Cpy hoặc x D py.

d) x D y2:

e) y D x2:

và
Câu hỏi 3. Nếu x và y là các số thực sao cho x3 D y; khi đó tốt nhất có thể nói về x là

a) x D py:

b) x D y 1 :
3

c) x D Cy 1 hoặc x D y 1 :
3 3

d) x D y 3:

e) x D y 3 hoặc x D y 3:

Những câu hỏi như vậy có cho biết khá trực tiếp (và có thông tin phản hồi ngay lập tức) rằng
học sinh có mắc sai lầm ở vấn đề cụ thể này không, mà không cần sự can thiệp trực tiếp của một
giảng viên hoặc giảng dạy trợ. (Một cách lý tưởng, một bài kiểm tra tự động không chỉ để cho
biết ngay lập tức câu trả lời được lựa chọn là đúng hay sai, mà còn để giải thích những gì lỗi là
trong trường hợp này).

Lưu ý một số khác biệt giữa những loại câu hỏi trắc nghiệm và những câu hỏi trong một cuộc

kiểm tra trên lớp. Trong khung cảnh kỳ thi, người ta thường muốn có những câu hỏi phức tạp

hơn mà kiểm tra một số khía cạnh của kiến thức cùng một lúc (ví dụ phân tích nhân tử, rút gọn,

thế, ...) thay vì tập trung một cách hẹp và đơn giản lên một khía cạnh. (Đặc biệt, khi sinh viên

thực sự nắm được kiến thức có thể trả lời mỗi câu hỏi ở đây dễ dàng, mà không cần phải tính

toán đáng kể.) Ngoài ra, trong khi các bài kiểm tra trên lớp học cố gắng làm cho câu trả lời chính

xác khá khác biệt so với các lựa chọn thay thế không chính xác (để phân biệt những người về cơ

bản hiểu các kiến thức với những người đang thực sự không biết gì), việc tự kiểm tra cho phép

sự khác biệt khá tinh tế giữa các câu trả lời đúng và những câu trả lời khác, để khuyến khích học

sinh suy nghĩ cẩn thận và để giải quyết bất kỳ quan niệm sai lầm đầu vào, các loại “câu hỏi lừa”

sẽ là không công bằng trong môi trường căng thẳng của một kỳ thi đánh giá trên lớp, nhưng có

thể được thực hiện một cách an toàn trong một đề tự kiểm tra. Câu hỏi trắc nghiệm dường như

có hiệu quả nhất khi dùng để giải thích các định nghĩa chính xác của một khái niệm quan trọng

(“với mỗi " tồn tại một ı” hay “cho mỗi ı tồn tại một "?”), việc xây dựng chính xác một số quy
fg0 gf 0 f 0 g gf 0 0g 0
tắc (đạo hàm của f bằng g2 hay g2 hay f f gf ...?), hoặc kiểm tra trực tiếp một
g ;
2

lỗi cụ thể và thường được thực hiện (nếu x < y, thì x < y, hay x > y?) Xem thêm danh

sách các lỗi phổ biến trong giáo trình toán đại học). Nhưng với một chút trí tưởng tượng, người

ta có thể đưa ra một số câu trắc nghiệm hữu ích cho việc tự kiểm tra với các mục đích khác,

thậm chí cho các chủ đề toán học khá cao cao. Ví dụ, hãy xem xét các câu hỏi sau đây để kiểm

tra của một người nắm bắt được các tính chất của biến đổi Fourier:

42

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Câu hỏi 4. Cho f W R ! C là một hàm số. Trong số tất cả các giả thiết dưới đây, đâu là giả
thiết yếu nhất mà vẫn cho phép các biến đổi Fourier fO W R ! C tồn tại và là liên tục?

a) f trơn và giảm nhanh chóng.

b) f là hoàn toàn khả tích.

c) f là bình phương khả tích.

d) f là liên tục.

e) f là liên tục và có giá compact.

f) f là một phân phối tăng chậm.

Các loại kiến thức trong giải tích Fourier mà câu hỏi này kiểm tra như rất khó kiểm tra bởi các
kiểu câu hỏi khác (trừ thi vấn đáp). Một khả năng thú vị khác là sử dụng trắc nghiệm để khám
phá chiến lược giải quyết bài toán, một vấn đề chỉ gián tiếp được giải quyết bởi hầu hết các
phương pháp kiểm tra. Ví dụ, trong một khóa học giải tích một biến, người ta có thể tập trung
vào chiến thuật tích hợp, sử dụng câu hỏi như thế này:

Câu hỏi 5. Kỹ thuật nào sau đây bạn cảm thấy là một bước đầu tiên để tìm nguyên hàm
R x2 log.1 C x/dx của hàm x2 log.1 C x/?

a) Tích phân từng phần, đạo hàm x2 và tích phân log.1 C x/.

b) Tích phân từng phàn, đạo hàm log.1 C x/ và tích phân x2.

c) Thế y D x2:

d) Thế y D 1 C x:

e) Thế y D log.1 C x/:

f) Thử đạo hàm hàm số x3 log.1 C x/:

g) Phác thảo một đồ thị của x2 log.1 C x/:

h) Khai triển Taylor log.1 C x/:

i) Khởi động Maple, Mathematica, hoặc SAGE.

Lưu ý rằng câu hỏi này là có tính chất chủ quan hơn là câu hỏi trước, với câu trả lời khác nhau có
điểm mạnh và điểm yếu khác nhau, không có trả lời thuần túy “đúng” hoặc thậm chí “tốt nhất”
ở đây. Như vậy, đây sẽ là một câu hỏi khủng khiếp để đặt trong một kỳ thi đánh giá, nhưng tôi
nghĩ rằng nó sẽ là một câu hỏi kích thích tư duy tốt để cung cấp cho một bài tự kiểm tra. (Điều
này sẽ là một ví dụ về một câu hỏi mà các quá trình đến với câu trả lời của một người được lựa
chọn chắc chắn là có giá trị hơn bản thân câu trả. Ngoài ra, có một nơi để thảo luận về các câu
trả lời khác nhau cho một câu hỏi như thế này - chẳng nếu câu hỏi đã được lưu trữ trên một trang
web thảo luận (wiki) - cũng sẽ thêm một chiều kích tới bài tập này). Lưu ý sự khác biệt giữa các

43

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016
câu hỏi trên và câu truyền thống hơn “Tính nguyên hàm của x2 log.1 C x/.” Sự nhấn mạnh tại
đây là về chiến thuật hơn là tính toán.
Tóm lại, tôi tin rằng có một số cách thú vị - nhiều trong số đó chưa được khai thác hiện nay -
trong đó các câu tự trắc nghiệm được thiết kế tốt và trực tuyến có hiệu quả để đánh giá những
điểm mạnh và điểm yếu của một người trong một môn toán. Tất nhiên, có một tương tác một-
một với giảng viên hoặc trợ giảng sẽ là một cách rất thích hợp để đạt được điều này loại thông
tin phản hồi ngay lập tức, nhưng điều này là không thực tế cho các lớp học lớn hơn. Ngoài ra
cũng đúng là một mức độ trưởng thành và kỷ luật nhất định là cần thiết đối với học sinh để thực
sự được hưởng lợi từ phương thức tự đánh giá này, đặc biệt là khi chúng không có ảnh hưởng
trực tiếp tới điểm số trên lớp của học sinh, nhưng triết lý của tôi ở đây là để cho sinh viên hưởng
lợi từ sự nghi, tôi cảm thấy rằng khả năng thực hiện hơn mức tối thiểu để thi đỗ là một phần của
những gì một khóa học ở các năm cuối đại học cần hướng tới.

Terence Tao 14=12=2008:

44

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

NƯỚC MỸ CHỌN VÀ LUYỆN ĐỘI TUYỂN THI TOÁN
QUỐC TẾ (IMO) THẾ NÀO?

Lê Tự Quốc Thắng
(Học viện Công Nghệ Georgia, Mỹ)

GIỚI THIỆU

Bài viết này giới thiệu cách Mỹ chọn và luyện đội tuyển IMO. Để viết bài này, tôi đã tham
khảo các tài liệu trên Internet, phỏng vấn các huấn luyện viên đội tuyển Mỹ, và các thành
viên các đội tuyển IMO của nhiều nước trên thế giới.

Mỹ là nước không có các hệ thống trường chuyên lớp chọn như Nga, Trung Quốc, hay Việt
Nam, nhưng Mỹ luôn chiếm vị trí khá cao trong các kỳ thi vô địch toán quốc tế (IMO), như hai
năm 2015; 2016 đã đứng nhất đồng đội.

Trước hết xin nhất mạnh một điểm: Độc giả đừng nhầm lẫn giữa việc tuyển chọn và huấn luyện
cho các kỳ thi (Toán, Lý, Tin học, ...) với việc đào tạo học sinh có năng khiếu ở Mỹ, vì ở Mỹ hai
vấn đề này, dù có liên quan với nhau, vẫn khác nhau rất xa, không như ở Việt Nam. Mục đích
đào tạo học sinh giỏi ở Mỹ là để phát triển hết khả năng cho các học sinh có năng khiếu chứ
không nhằm vào việc thi các kỳ thi Olympiad.

Tôi sẽ viết về việc đào tạo học sinh năng khiếu ở Mỹ ở một bài khác. Bài viết này tập trung vào
các nội dung như đã nêu ở tiêu đề.

Ở Mỹ không phải học sinh giỏi toán nào cũng biết/muốn thi toán quốc tế. Văn hóa Mỹ không
đánh giá quá cao các tài năng toán học. Các nghiên cứu chỉ ra rằng rất nhiều các học sinh của
đội tuyển Mỹ trong các kỳ thi này là những học sinh nhập cư hoặc con của những người nhập cư
từ các nước mà ở đó giáo dục toán học được coi trọng và các tài năng toán học được nuôi dưỡng
thông qua một quy trình khó khăn và kiên trì. “Có thể nói là văn hóa Mỹ ngày nay dường như
không khuyến khích nam giới và phụ nữ trong toán học” - Michael Sipser, trưởng khoa Toán
Học viện công nghệ MIT nói.

Đúng là ở Mỹ không có các trường chuyên với mục đích là luyện thi học sinh giỏi cho các kỳ thi
Olympiad. Nhưng ở Mỹ cũng có một số trường chuyên, và các câu lạc bộ toán để đào tạo học
sinh năng khiếu/giỏi. Các chương trình đào tạo học sinh giỏi thường được các trường đại học
hỗ trợ, cho nên các học sinh IMO đến từ khắp các miền của nước Mỹ. Có học sinh học ở nhà
(home schooling) do cha mẹ dạy, không đến trường. Thí dụ Reid Barton, cho đến nay là người
duy nhất thi 4 lần thì được huy chương vàng cả 4, là home schooling.

Có một số ngộ nhận rằng Mỹ không cần luyện thi mà kết quả thi vẫn cao (thí dụ bài viết của
ông Lê Quang Tiến về việc thi toán quốc tế). Trên thực tế việc tuyển chọn và luyện đội tuyển

45

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

của Mỹ được tổ chức khá kỹ, có chiến lược, và ngày càng phức tạp và kỹ hơn. Tôi có hỏi trưởng
đoàn và thành viên đội tuyển một số nước có thành tích cao trong thi toán quốc tế, tất cả đều
cho rằng để có thành tích cao, rất cần có một chương trình huấn luyện kỹ, nhất là thời kỳ 3 4
tuần trước khi thi IMO.

Và Mỹ ngay từ đầu đã huấn luyện khá kỹ đội tuyển của mình. Một số nước không có chương
trình chọn lựa kỹ (qua các vòng thi tuyển) và không có luyện tập, thường không có kết quả cao.
Điển hình là đội Italia, năm 1984; cả 6 thành viên của đội tuyển Italia được tổng cộng ... 0 điểm.
Ngoại lệ có lẽ là nước Anh. Trong 10 15 năm đầu tiên, nước Anh không huấn luyện đội tuyển
trước khi đi thi, nhưng đội tuyển Anh vẫn khá thành công. N. Boston, thành viên đội tuyển Anh
năm 1979 và hiện giờ là giáo sư toán đại học Wisconsin, nói với tôi rằng, đó là do ở Anh có
truyền thống coi trọng việc giải toán nhanh trong trường phổ thông, và có nhiều câu lạc bộ toán
ở các trường.

Việc chọn và luyện đội IMO của Mỹ được thực hiện bởi MAA, một tổ chức phi chính phủ. Nhà
nước Mỹ hay Bộ giáo dục Mỹ hầu như không nhúng tay vào việc này, mặc dù lúc phát giải
thưởng kỳ thi USAMO (vô địch toán Mỹ) thì trợ lý tổng thống Mỹ về khoa học và công nghệ
thường có mặt và đọc phát biểu. Chi phí cho đội tuyển, tập trung luyện, đi thi, chủ yếu từ MAA
và các nhà tài trợ. NSF (quỹ nghiên cứu khoa học Mỹ) cũng có đóng góp một ít.

IMO được khởi xướng bởi các nước Đông Âu (khối XHCN cũ) từ năm 1959: Nước tư bản đầu
tiên tham gia là Phần Lan, năm 1965; và xếp chót bảng. (Phần Lan nghỉ luôn 8 năm, đến năm
1973 mới tham gia lại). Pháp tham gia lần đầu vào năm 1967; Hà Lan lần đầu năm 1969; và
đều xếp chót bảng. M. Klamkin, huấn luyện đội tuyển IMO Mỹ những năm 1977 1984 nói
rằng nhiều người Mỹ “không muốn Mỹ tham gia IMO, sợ rằng đội Mỹ sẽ bị các nước cộng sản
đè bẹp.” Năm 1971 N. Turner viết bài báo ở tạp chí “Amer. Math. Monthly” nói rằng Mỹ đã
có một số kỳ thi toán ở cấp tiểu bang, và nên gửi đội tuyển tham gia IMO, rằng có thể lúc đầu
sẽ bị “nhục” vì thứ hạng thấp, nhưng tình hình sẽ cải thiện. Năm 1972 Mỹ lần đầu tổ chức thi
vô địch toán nước Mỹ (USAMO) và năm 1974 MAA đồng ý gửi đội tuyển Mỹ tham gia IMO.
Trong các nước tư bản thì Mỹ là nước thành công nhất trong thi IMO, có thứ hạng trung bình
1995 2008 là 3 (Việt Nam thứ hạng trung bình là 6). Đặc biệt năm 1994 cả 6 thành viên đội
tuyển Mỹ đều được điểm tuyệt đối, một kỷ lục mà chưa nước nào làm được. (Điều này tương
phản với thành tích trung bình trong các đánh giá về trình độ toán của học sinh Mỹ nói chung).
Để có được những thành công như vậy là nhờ việc chọn lựa và chuẩn bị cho đội tuyển IMO của
Mỹ khá kỹ.

Hiện nay rất nhiều nước tham gia IMO (104 nước năm 2015). Trong các kỳ thi quốc tế cho học
sinh phổ thông, IMO vẫn được xem trọng nhất. Cũng cần nói thêm, để thành công ở IMO, bạn
cần phải nhanh và có khiếu trong việc giải toán. Việc giải toán kiểu IMO khác với việc nghiên
cứu toán của các nhà toán học. Nghiên cứu toán thì phải trường kỳ, hiểu biết rộng và sâu ngành
của mình, có nhiều tính sáng tạo, tìm lời giải cho một bài toán mà có thể nó không có lời giải.
Trong khi giải toán Olympiad thì phải nhanh vì thời gian có hạn, và bạn biết rằng bài toán chắc
chắn có lời giải, bạn chỉ phải tìm nó thôi. Nhưng cũng có một số điểm chung, trước hết là bạn
phải có năng khiếu về tư duy toán. Không phải ngẫu nhiên mà sau năm 2000; hơn một nửa số
người được giải thưởng Fields đã từng đoạt huy chương vàng tại IMO. Nếu tính số người tham
gia IMO thì còn nhiều nữa. Năm 1994 Pháp có 2 giải thưởng Fields là Lions và Yoccoz, cả 2
đều là thành viên đội tuyển IMO của Pháp năm 1973:

46

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

tKhhànohảnvgiê14n số thành viên đội tuyển IMO của Mỹ sau này ctroởnthcủànahdnânhàmtoớái nnhhậọpc.cKưhvoàảongM21ỹ số
đội tuyển IMO của Mỹ là dân nhập cư hoặc từ

những nước có thành tích cao ở IMO (theo hội toán học Mỹ, trong đó có người gốc Việt).

Để huấn luyện cho đội tuyển, MAA đã lập MOP (Mathemetical Olympiad Program, sau này là
MOSP), một khóa huấn luyện không những cho những thành viên đội tuyển IMO của Mỹ mà
còn tạo nguồn cho đội tuyển tương lai. Thường MOP kéo dài 2 4 tuần, ngay trước khi đi thi,
và đội tuyển sẽ đi đến địa điểm thi (ở nước nào đó) trực tiếp từ MOP.

Quy trình chọn đội tuyển IMO của Mỹ đã thay đổi nhiều lần. Vào thời điểm hiện tại phức tạp
hơn các bạn nghĩ. Tuy nhiên việc “luyện” của đội tuyển Mỹ không nhiều như một số nước như
Trung Quốc, Nga hay Việt Nam. Những trường chuyên của các nước này cho học sinh làm các
loại toán Olympiad quanh năm. Làm nhiều quá có lẽ cũng có hại cho sự sáng tạo của (một số)
học sinh sau này.

Ở Mỹ có 3 kỳ thi toán chính. Kỳ đầu tiên là AMC 12, bất cứ học sinh trung học nào muốn tham
gia cũng được, nhưng phải đóng một khoản lệ phí. Những học sinh đạt điểm cao được mời tham
dự vòng tiếp theo là AIME. Rồi khoảng gần 300 học sinh được điểm cao nhất AIME C AMC
12 được tham gia kỳ thi vô địch toán nước Mỹ (USAMO). Cả 2 vòng sau đều miễn phí.

Trước đậy, 6 8 người được điểm cao nhất của USAMO sẽ là thành viên đội tuyển IMO của Mỹ.
Sau USAMO, thành viên đội tuyển Mỹ, và khoảng 25 35 học sinh được điểm cao USAMO
nhưng không phải đang học lớp 12, được mời đến MOP (hoặc sau này là MOSP). Mục đích là
ngoài huấn luyện đội tuyển còn đào tạo thế hệ tương lai chuẩn bị cho IMO năm sau. Rất nhiều
thành viên đội tuyển đã được tham dự MOSP của những năm trước, thậm chí không chỉ một lần.
MOP đầu tiên được tổ chức năm 1974; năm Mỹ bắt đầu tham gia IMO. Ngay lần đầu này MOP
đã “đào tạo” cho một số thành viên đội tuyển năm sau.

Về sau, đội tuyển IMO không được chọn dựa vào kết quả USAMO nữa. Sau khi khoảng 40
người điểm cao của USAMO được tập trung tại MOSP, sẽ có 2 3 bài thi chọn đội tuyển nữa.
Kết quả các bài thi chọn đội tuyển và điểm của USAMO sẽ được dùng để chọn đội tuyển. Việc
tuyển chọn như vậy sẽ chính xác hơn nhưng đội tuyển chỉ được chọn ra khoảng 3 tuần trước
IMO, gây một số phiền phức cho đội tuyển và các công việc hành chính như làm giấy tờ, visa.

Đến năm 2011; công thức chọn đội tuyển IMO lại thay đổi. Lần này việc chọn đội tuyển bắt đầu
từ hơn một năm trước khi thi IMO, và gồm các bước sau đây. Để được vào đội tuyển năm sau,
bạn phải được chọn vào MOSP của năm trước đó.

1. Đầu tiên là 2 3 bài sơ tuyển diễn ra trong suốt Chương trình Toán học mùa hè (MOSP)
tháng 6 năm trước. Khoảng 40 người qua được vòng này sẽ tham gia thi tuyển ở mục 2 và
mục 3 dưới đây.

2. Hai bài thi chọn đội tuyển vào mùa đông (tháng 12, tháng 1).

3. Tiếp theo là bài thi của ngày đầu tiên của Romannian Master of Mathematics (bài thi các
năm trước ở đây: http://rmms.lbi.ro/rmm2016), thường tổ chức vào tháng 3:

4. Cuối cùng là kỳ thi USAMO của năm nay, vào khoảng cuối tháng 4:

47

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

Kỳ thi 1 quyết định ai sẽ tham gia kỳ 2 và 3: AMC 12C AIME sẽ quyết định ai sẽ tham gia
USAMO, và sau đó 2 C 3C USAMO sẽ quyết định đội tuyển. Vì thế, đội tuyển được quyết định
ngay sau khi USAMO diễn ra khoảng cuối tháng 4: Đến tháng 6 các thành viên đội tuyển và
khoảng 50 ứng cử viên cho đội tuyển các năm sau sẽ được tập trung luyện chuẩn bị thi toán
quốc tế (MOSP).

Ban tổ chức của MOSP là MAA (Hiệp hội Toán học Mỹ). Các thành viên tham gia MOSP được
tài trợ hoàn toàn chi phí đi lại và ăn ở trong 3 4 tuần. Phần lớn chi phí được chi trả bởi MAA
và các nhà tài trợ. Thí dụ AKAMAI là một nhà tài trợ lớn – công ty đã giúp giúp MOSP tăng
gấp đôi số học sinh. Số tiền nhận được từ chính phủ Mỹ là khá khiêm tốn.

Được nhận vào MOSP là rất khó, và là một vi dự đối với học sinh phổ thông Mỹ. Một chương
trình khác cũng có uy tín cao là Research Science Institute (RSI), được tổ chức 6 tuần hàng năm
ở MIT. RSI thiên về nghiên cứu, không thi tuyển chọn mà chỉ xét hồ sơ rồi tuyển chọn. Khoảng
80 học sinh cấp 3 đến từ khắp nơi trên thế giới (50 từ Mỹ và 30 học sinh nước ngoài) được
chọn tham gia RSI (miễn phí hoàn toàn). Rất nhiều công trình nghiên cứu của các thành viên
RSI được các giải thưởng cao ở cuộc thi Intel Sience Talent Search. MOSP và RSI thỉnh thoảng
cũng có cạnh tranh với nhau, tranh giành học sinh giỏi nhất Mỹ về toán.

Các giảng viên tại MOSP. Có 2 loại chức danh: Giảng viên (hay còn gọi là huấn luyện viên)
và trợ giảng. Hầu hết các giảng viên đều đã từng là trợ giảng, trừ một số ngoại lệ như Titu
Andreescu, Zuming Feng và Razvan Gelca. Những người này được Huấn luyện viên trưởng
(hiện tại là giáo sư Po-Shen Loh tới từ ĐH Carnegie-Mellon) mời đến làm việc. Họ thường là
cựu thành viên của các đội tuyển IMO của Mỹ và các quốc gia khác, hoặc từng là thí sinh tham
gia MOSP, và hầu hết rất trẻ.

Các giảng viên phần lớn là các giáo sư đại học, các nghiên cứu viên hậu tiến sĩ hoặc nghiên
cứu sinh. Trợ giảng thường là sinh viên đại học. Họ đến từ các trường như MIT, Carnegie
Mellon, Harvard, Berkeley. Có một số giảng viên từ các công ty tư nhân (như Jane Street Capital,
Microsoft). Rất ít giáo viên phổ thông. Tổng cộng có khoảng 15 giảng viên và 7 trợ giảng. Nhưng
không phải ai cũng ở đó đủ 3 4 tuần của MOSP.

Cuối cùng, để có thể có một góc nhìn đầy đủ hơn về “bếp núc” của MOSP, chương trình huấn
luyện chính của đội tuyển Mỹ, tôi xin giới thiệu phần trả lời của Razvan Gelca, huấn luyện viên
kỳ cựu của MOSP cho các câu hỏi mà tôi đặt ra cho anh ấy. Một vài câu trong các câu hỏi này
được đề xuất bởi Trần Nam Dũng, giảng viên trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên thành phố Hồ
Chí Minh, một cái tên quen thuộc trong giới Olympiad toán ở Việt Nam. Trong các câu trả lời
dưới đây, đại từ “tôi” nghĩa là Razvan Gelca.

1: Một ngày bình thường ở MOSP như thế nào?

Có 3 kiểu ngày ở MOSP:

1. Có 2 bài giảng vào buổi sáng, mỗi bài 90 phút và một bài giảng 90 phút nữa vào buổi
chiều. Sau đó, học sinh hoạt động tự do, hoặc là nghỉ ngơi, hoặc là làm toán hoặc có các
hoạt động chung. Cũng có một bài báo cáo khoa học vào buổi tối dành cho các giảng viên
và trợ giảng. Học sinh có thể tham gia hoặc không tùy ý.

2. Có 2 bài giảng vào buổi sáng và 1 bài kiểm tra vào buổi chiều.

48

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

3. Các ngày thứ Bảy có một số bài kiểm tra vào buổi sáng, thi sơ tuyển hoặc thi thử IMO,
buổi chiều thứ bảy và Chủ nhật nghỉ ngơi.
Kiểu ngày số 1 và số 2 xen kẽ nhau trong tuần, vì thế có rất nhiều bài kiểm tra.

2: Hình thức các bài giảng?

Tôi sẽ nói với bạn về cách mà tôi điều hành giờ học của tôi. Tôi tập trung rất nhiều vào các bài
toán, và tập trung ít vào lý thuyết. Tôi bắt đầu bằng việc đưa cho các em danh sách các bài toán,
tôi cho họ làm việc trong khoảng 45 phút, sau đó chúng tôi viết các thảo luận lên bảng. Những
giảng viên khác có thể tập trung nhiều hơn vào lý thuyết.

3: Các cấp độ giảng dạy?

Học sinh được chia thành các nhóm tùy theo khả năng của mình:

A: Nhóm dai đen: Đây là đội tuyển chính thức của Mỹ, có thể thêm những người giỏi nhất
trong số các cô gái tham dự EGMO (Olympiad Toán học dành cho nữ sinh châu Âu), và
thành viên của đội tuyển Canada có 2 quốc tịch. Đây là nơi mà tất cả mọi người đều phải
tập trung vào các bài toán, không nhiều lý thuyết. Trình độ và khả năng rất cao. Chỉ cần
đưa cho họ các bài toán, họ lên bảng và cho ra những lời giải tuyệt vời.

B: Nhóm đai xanh: Nhóm này khá gần với nhóm đai đen, cũng tập trung chủ yếu vào các
bài toán. Nhưng cũng có dạy cho họ một số lý thuyết mới. Với một số bài toán dành cho
nhóm đai đen, ở nhóm này cần gợi ý cách giải.

C: Nhóm đai đỏ: Đây là những tân binh. Ở nhóm này, lý thuyết sẽ được dạy trước, sau đó mới
là các bài toán. Dù tôi thường chọn những bài toán mà học sinh có thể giải được, nhưng
luôn có một nhóm nhỏ không theo kịp.

4: Có dạng toán cao cấp nào được dạy ở MOSP không?

Có một số bài giảng toán cao cấp vào cuối ngày. Tôi luôn dạy về lý thuyết Chern - Simons: Topo
học, hàm theta, cơ học lượng tử, và tôi cố gắng sử dụng những từ đơn giản để truyền tải ý của
mình. Nhưng chúng tôi hiếm khi làm những thứ quá cao cấp trong lớp học.

Bài giảng là tài sản riêng của các giảng viên. Các giảng viên làm việc độc lập với nhau. Tôi
không biết những người khác đang làm gì, ngoại trừ thỉnh thoảng tôi có ghé thăm lớp của họ,
chỉ cho vui thôi. Trình độ các học sinh ngày càng cao, do đó tôi luôn phải tìm những bài toán
mới, khó hơn.

5: Thành viên trong đội tuyển IMO của Mỹ có nhận được bất kỳ giải thưởng nào từ Chính phủ
hay các tổ chức không? Các thí sinh sau đó thường theo học những trường nào?

Chính phủ Mỹ không tham gia vào việc này, mặc dù Nhà Trắng có cử đại diện là ông J.P.
Holdrenla trợ lý tổng thống về khoa học và kỹ thuật tham dự lễ trao giải của USAMO. Hầu hết
thí sinh nhận được học bổng của các trường đại học. MIT không trao học bổng cho những người
đạt giải, nhưng Harvard thì có, vì thế có nhiều người học Harvard hơn MIT. Carnegie - Mellon
hiện tại đang rất tích cực thu hút những sinh viên này bằng học bổng. Và đây cũng là lý do giải

49

Tạp chí Epsilon, Số 11, 10/2016

thích tại sao Carnegie - Mellon hiện đang là một đối thủ lớn ở kỳ thi Putnam. Ngay cả UCLA
cũng trao học bổng để thu hút sinh viên, nhưng họ mới chỉ thu hút được một số sinh viên nước
ngoài. Trước đây, Duke cũng trao học bổng, nhưng bây giờ họ không còn thu hút được những
học sinh của chúng tôi nữa. Princeton đứng sau Harvard, MIT, CMU trong việc thu hút người
của Olympiad.
Tôi muốn nói rằng có rất nhiều người đã trở thành nhà toán học, nhưng không phải là tất cả.
Đáng tiếc là nhiều người cuối cùng lại làm việc cho các quỹ đầu cơ (tiền nhiều nhưng tương lai
mù mịt). Tôi không rõ con số cụ thể.
6: Có trường nào chuyên biệt ở Mỹ giống như các trường ở Nga dạy toán ở mức độ cao không?
Hay có chương trình đào tạo nào tập trung vào các vấn đề toán học phục vụ riêng Olympiad
không? Có trường nào ở Mỹ (hay địa phương nào) có truyền thống lâu đời về việc giành giải
cao ở USAMO không?

Có các trường như Phillips Exeter, Thomas Jefferson và một số trường khác chuyên cung cấp
khá nhiều học sinh giỏi, nhưng ở Mỹ thì hơi khác các nước như Nga. Có nhiều cơ sở giáo dục,
chương trình đào tạo tư nhân hoặc phi lợi nhuận thậm chí còn đóng góp nhiều hơn. Tôi ủng hộ
và tham gia vào một số chương trình này. Và tôi tin rằng chúng đang định hình lại bộ mặt giáo
dục ở đất nước này. Đây là một số chương trình: Nghệ thuật giải quyết vấn đề (chương trình đào
tạo trực tuyến), Toán học tuyệt vời (trường hè), Toán học lý tưởng (trường hè).
Có nhiều câu lạc bộ toán học, nổi bật nhất là câu lạc bộ toán học ở Bay Area và chương trình
dành cho những học sinh tài năng ở Johns Hopkins. Và còn có rất nhiều chương trình khác
ở New England, East Coast (New York, New Jersey, North Carolina), Bay Area, San Diego,
Dallas. Tuy nhiên cũng có những học sinh trên khắp nước Mỹ tự học và vào được MOP.
7: IMO đầu tiên mà Mỹ tham gia là vào năm 1974; cũng là năm mà đội tuyển Mỹ rất thành
công. Vậy việc ôn luyện cho MOSP thời điểm đó có nặng nề không? Bạn có thể so sánh MOSP
và việc tuyển chọn giữa bây giờ và lúc đó?

Cứ 10 năm IMO lại tăng lên một cấp độ cao hơn. Đội tuyển Mỹ có thể đối mặt rất tốt với những
thay đổi, hầu hết là vì những người trẻ đã đổi mới chương trình đào tạo. Mỗi năm, các bài toán
mỗi lúc một khó hơn, và học sinh của chúng tôi cũng ngày càng giỏi hơn. Bây giờ chúng tôi đã
có nhiều học sinh hơn, chúng tôi có những cơ sở vật chất tốt hơn, chúng tôi có quá trình tuyển
chọn cạnh tranh hơn và cũng có nhiều nguồn tài liệu hơn: Sách, Internet, các chương trình đào
tạo tại địa phương.

50