MAKALAH PERSAMAAN DIFERENSIAL - PDF Flipbook

E book ini berisi tentang materi deret pangakat

131 Views
91 Downloads
PDF 130,261 Bytes

Download as PDF

REPORT DMCA

MAKALAH DERET PANGKAT (Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Persamaan Diferensial) DOSEN PENGAMPU : Restilawati Woe Titi Cahyani, M.Pd

DISUSUN OLEH : Kelompok 7 Novia Sari

1901061028

Puji Nur Wahyuni

1901062008

Rizal Baihaqi

1901062009

KELAS / SEMESTER C/6 JURUSAN TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) METRO LAMPUNG TAHUN AJARAN 2022/2023

i

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr.Wb

Puji syukur kami panjatkan kehadiran Allah SWT yang atas rahmat-Nya dan karunianya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini tepat waktunya. Dengan judul makalah ini adalah β€œ Deret Pangkat”. Kami menyadari dalam penulisan makalah ini jauh dari kata sempurna dan merasa masih banyak kekurangan baik pada teknis penulisan maupun materinya. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak pembaca sangat diharapkan yang sifatnya membangun demi perbaikan dan penyempurnaan makalah ini. Semoga makalah ini bermanfaat bagi para pembaca, khususnya bagi penulis serta memperoleh ridho Allah SWT. Wassalamu’alaikum Wr.Wb

Metro, 12 Mei 2022

Penulis

ii

DAFTAR ISI

HALAMAN COVER KATA PENGANTAR ............................................................................. ii DAFTAR ISI ........................................................................................... iii

BAB I

PENDAHULUAN A. Latar Belakang .................................................................... 1 B. Rumusan Masalah ............................................................... 1 C. Tujuan ................................................................................ 2

BAB II PEMBAHASAN A. Deret Pangkat ........................................................................... 3 B. Metode Deret Pangkat Orde Pertama ....................................... 5 C. Metode Deret Pangkat Orde Kedua ......................................... 6

BAB III PENUTUP A. Kesimpulan ........................................................................ 8 B. Saran .................................................................................. 8

DAFTAR PUSTAKA

iii

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Matematika sebagai salah satu disiplin ilmu sering disebut sebagai ibu sekaligus pelayan ilmu pengetahuan. Hal itu karena matematika merupakan salah satu ilmu pengetahuan dasar yang merupakan sumber dari ilmu pengetahuan terapan. Sedangkan dikatakan sebagai pelayan karena matematika juga sering dipakai untuk membantu mempermudah penyelesaian permasalahan yang ada di dalam ilmu-ilmu lainnya. Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri atau turunannya dalam berbagai orde. Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi, dan berbagai macam disiplin ilmu lain. Pengertian lainnya yaitu Persamaan Diferensial adalah Persamaan yang mengandung variabel dan beberapa fungsi turunan terhadap variabel tersebut. Jika suatu persamaan terdiri dari atas 1 Konsatanta sembarang menghasilkan PD Orde I Dan Jika suatu persamaan terdiri dari atas 2 konstanta sembarang menghasilkan PD Orde II. Dalam makalah ini akan dibahas mengenai deret pangkat, metode deret pangkat orde pertama dan kedua.

B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang belakang diatas, maka dapat disusun rumusan masalah sebagai berikut: 1. Apa definisi Deret Pangkat ? 2. Bagaimana Metode Deret Pangkat Orde Pertama? 3. Bagaimana Metode Deret Pangkat Orde Kedua?

1

C. Tujuan Adapun tujuan penulisan makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Mengetahui definisi dan teorema deret pangkat. 2. Mengetahui metode deret pangkat PD orde pertama. 3. Mengetahui metode Deret Pangkat PD orde kedua.

2

BAB II PEMBAHASAN

A. Deret Pangkat Deret pangkat merupakan suatu bentuk deret tak hingga. 𝒏 𝟐 π’Œ βˆ‘βˆž 𝒏=𝟎 𝒂𝒏 𝒙 = π’‚πŸŽ + π’‚πŸ 𝒙 + π’‚πŸ 𝒙 + β‹― + π’‚π’Œ 𝒙 + β‹―

(1)

Disebut deret pangkat dalam x dimana x adalah variabel dan 𝒂𝒏 adalah konstanta sebarang, atau

𝒏 𝟐 π’Œ βˆ‘βˆž 𝒏=𝟎 𝒂𝒏 (𝒙 βˆ’ π’™πŸŽ ) = π’‚πŸŽ + π’‚πŸ (𝒙 βˆ’ π’™πŸŽ ) + π’‚πŸ (𝒙 βˆ’ π’™πŸ ) + β‹― + π’‚π’Œ (𝒙 βˆ’ π’™πŸŽ ) +

β‹― (2)

Disebut deret pangkat dalam (π‘₯ βˆ’ π’™πŸŽ )

π’‚πŸŽ , π’‚πŸ , … , 𝒂𝒏 , … adalah koefisien – koefisien konstan dari deret pangkat itu, x

adalah variabel dari deret pangkat, dan π’™πŸŽ pada ( 2 ) adalah titik tertentu yang disebut pusat dari deret pangkat tersebut.

Jika x dalam (1) diganti dengan bilangan, maka diperoleh deret dengan suku – suku konstan yang dapat konvergen atau divergen. Hal ini menunjuk pada masalah dasar yaitu mencari nilai x agar deret pangkat (1) konvergen. Teorema berikut adalah hasil dasar konvergensi deret pangkat.

Teorema 1.1 𝑛 Untuk setiap deret pangkat dalam x, βˆ‘βˆž 𝑛=0 π‘Žπ‘› π‘₯ tepat satu pernyataan berikut

benar.

a) Deret konvergen hanya umtuk x = 0 b) Deret konvergen mutlak untuk semua x c) Deret konvergen mutlak untuk semua x dalam suatu interval terbuka tertentu (-R, R) dan divergen jika x < -R atau x > R. Pada titik-titik π‘₯ = 𝑅 𝒅𝒂𝒏 𝒙 = βˆ’π‘Ήderet dapat konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen tegantung pada deret secara khusus.

3

Bukti : 𝒏 Bentuk deret nilai mutlak suku-sukunya βˆ‘βˆž 𝑛=0|𝒂𝒏 𝒙 |akan konvergen mutlak

apabila dipenuhi syarat

|𝒂𝒏+𝟏 ||𝒙𝒏+𝟏 | 𝒖𝒏+𝟏 𝒂𝒏+𝟏 𝒂𝒏+𝟏 𝝆 = π₯𝐒𝐦 | | = π₯𝐒𝐦 = π₯𝐒𝐦 | 𝒙| = π₯𝐒𝐦 | | 𝒏 π’β†’βˆž 𝒖𝒏 π’β†’βˆž π’β†’βˆž 𝒂𝒏 π’β†’βˆž 𝒂𝒏 |𝒂𝒏 ||𝒙 |

Deret pangkat konvergen mutlak jika 𝝆 < 1 |𝒙| π₯𝐒𝐦 | π’β†’βˆž

𝒂𝒏

Andaikan lim |𝒂 π‘›β†’βˆž

|𝒙| π₯𝐒𝐦 | π’β†’βˆž

𝒏+𝟏

𝒂𝒏+𝟏 | 𝑅.

Tinggal memeriksa bila |π‘₯| = 𝑅. Untuk dapat mengetahui apakah deret

konvergen atau divergen dilakukan dengan cara mensubsitusikan π‘₯ =

𝑅 π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘’ π‘₯ = βˆ’π‘…ke dalam deret yang diketahui. a) Jika lim |

𝒂𝒏

π‘›β†’βˆž 𝒂𝒏+𝟏

| = 𝑅 = ∞maka didapat |π‘₯| = 0, sehingga deret pangkat akan

konvergen mutlak hanya π‘₯ = 0dan divergen π‘₯ β‰  0. Jadi (a) terpenuhi. 𝒂𝒏

b) Jika lim |𝒂 π‘›β†’βˆž

𝒏+𝟏

| = 𝑅 = ∞ maka didapat |π‘₯| < ∞atau βˆ’βˆž < π‘₯ < +∞atau

deret konvergen mutlak untuk semua x.

c) Jika lim |

𝒂𝒏

π‘›β†’βˆž 𝒂𝒏+𝟏

| = 𝑅 maka didapat |π‘₯| < 𝑅 π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘’ βˆ’ 𝑅 < π‘₯ < 𝑅 , sehingga

nilai x yang memenuhi adalah nilai x yang terdapat dalam interval βˆ’π‘… < π‘₯ < 𝑅dan divergen bila |π‘₯| > 𝑅.Jadi (c) terpenuhi.

Himpunan semua bilangan x yang menyebabkan suatu deret pangkat konvergen disebut interval konvergensi deret. Bila R dari syarat (c) dalam teorema 1.1 di atas disebut jari – jari konvergensi dari deret. Jika deret (a) berlaku, maka R = 0 dan jika syarat (b) berlaku maka 𝑅 = ∞.

Metode Deret Pangkat

4

Metode deret pangkat merupakan suatu metode umum untuk memecahkan persamaan diferensial, termasuk persamaan 𝑦" + 𝒑(𝒙)π’šβ€² + 𝒒(𝒙)π’š = 𝟎dengan

p(x) dan q(x) fungsi terhadap x. Metode ini menghasilkan solusi terbentuk deret pangkat , oleh karena itu metode ini dinamakan metode deret pangkat.

B. Metode Deret Pangkat Orde Pertama Bentuk PD orde satu : ∞

𝑦 = βˆ‘ π‘Žπ‘› π‘₯ 𝑛 𝑛=0

Solusi y diperoleh dalam bentuk suatu deret maclaurin : 𝑦 = π‘Ž0 + π‘Ž1 π‘₯ + π‘Ž2 π‘₯ 2 + π‘Ž3 π‘₯ 3 + β‹―

Dimana sering mengganti π’‚πŸŽ π‘‘π‘’π‘›π‘”π‘Žπ‘› π’šπŸŽ Metode Deret Pangkat PD orde pertama Deret ini :

1. Memenuhi persamaan diferensial diatas 2. Mempunyai harga y = π’šπŸŽ jika x = x𝟎

3. Konvergen untuk semua harga x yang cukup dekat dengan x = x𝟎

a) Langkah – langkah untuk mencari solusi umum berbentuk deret pangkat dalam pangkat x, yaitu jika x𝟎 = 0

∞

𝑦 = βˆ‘ π‘Žπ‘› π‘₯ 𝑛 𝑛=0

1) Asumsikan bahwa solusi umum berbentuk deret pangkat dari x 𝑦 = π‘Ž0 + π‘Ž1 π‘₯ + π‘Ž2 π‘₯ 2 + π‘Ž3 π‘₯ 3 + β‹―

2) Diferensialkan suku demi suku deret yang di asumsikan. 3) Subsitusikan deret yang di asumsikan itu beserta deret – deret yang diperoleh dengan diferensial suku demi suku tersebut ke dalam persamaan diferensialnya. 4) Kumpulkan pangkat pangkat x yang sama dan menyamakan jumlah koefisien dari setiap pangkat x yang terjadi dengan nol, dimulai dari

5

suku-suku konstanta, suku-suku yang mengandung x, suku-suku yang mengandung π‘₯ 2 .

5) Hitunglah koefisien deretnya dari hubungan – hubungan diatas. 6) Subsitusikan koefisien deret yang telah diperoleh kedalam persamaan solusi yang diasumsikan pada awal langkah ini. b) Langkah – langkah untuk mrncari solusi umum yang berbentuk deret pangkat dalam pangkat (π‘₯ βˆ’ π‘₯0 ), yaitu solusi yang memenuhi syarat 𝑦 = 𝑦0 π‘—π‘–π‘˜π‘Ž π‘₯ = π‘₯0 ∞

βˆ‘ π‘Žπ‘› (π‘₯ βˆ’ π‘₯0) = π‘Ž0 + π‘Ž1 (π‘₯ βˆ’ π‘₯0 ) + π‘Ž2 (π‘₯ βˆ’ π‘₯0 )2 + β‹―

𝑛=0

1) Asumsikan bahwa solusi umum berbentuk deret pangkat dari(π‘₯ βˆ’ π‘₯0 )

𝑦 = π‘Ž0 + π‘Ž1 (π‘₯ βˆ’ π‘₯0) + π‘Ž2 (π‘₯ βˆ’ π‘₯0 )2 + β‹― + π‘Ž3 (π‘₯ βˆ’ π‘₯0)3 + β‹―

2) Buat subsitusi π‘₯ βˆ’ π‘₯0 = 𝑣, yang berarti bahwa π‘₯ = 𝑣 + π‘₯0, sehingga solusi yang diasumsikan berbentuk :

𝑦 = π‘Ž0 + π‘Ž1 𝑣 + π‘Ž2 𝑣 2 + π‘Ž3 𝑣 3 + β‹― + π‘Žπ‘› 𝑣 𝑛 + β‹―

3) Gunakan langkah A untuk mendapatkan solusi yang berebntuk deret pangkat dalam pangkat v. 4) Subsitusikan kembali 𝑣 = π‘₯ βˆ’ π‘₯0 di dalam solusi yang didapatkan dalam langkah 3 diatas dan solusi diperoleh.

C. Metode Deret Pangkat Orde Kedua Pandang bentuk Persamaan diferensial orde dua P0 (x)y β€²β€² + P1 (π‘₯ )y β€² + P2 (π‘₯ )𝑦 = 0

Dimana P0 (x), P1 (π‘₯), P2 (π‘₯) adalah polinomial-polinomial dalam x.

Jika P0 (π‘Ž) β‰  0 untuk x = a maka x = a dinamakan titik ordiner (ordinary point)

Jika x = 0 adalah suatu titik ordiner maka Persamaan Diferensial diatas dapat diselesaikan dalam deret di dekat x = 0 sebagai : 𝑦 = 𝐴 [π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘’π‘‘ π‘‘π‘Žπ‘™π‘Žπ‘š π‘₯] + 𝐡[π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘’π‘‘ π‘‘π‘Žπ‘™π‘Žπ‘š π‘₯] 6

Dimana A dan B adalah konstanta sebarang. Dua deret terebut adalah bebas linier dan keduanya adalah konvergen dalam daerah sekitar x = 0. Langkah – langkah Persamaan Diferensial orde satu dapat digunakan untuk menentukan solusi PD orde dua.

Definisi 2.1 Pandang persaaman diferensial orde kedua dengan koefisien variabel yang berbentuk : π‘Ž2 (π‘₯ )𝑦 β€²β€² + π‘Ž1 (π‘₯ )𝑦 β€² + π‘Ž0 (π‘₯ ) 𝑦 = 0 , 𝐴1 < π‘₯ < 𝐴2 (1)

Atau dalam bentuk normalnya 𝑦 β€²β€² + 𝑃1 (π‘₯)𝑦 β€² + 𝑃2 (π‘₯)𝑦 = 0 (2)

π‘Ž (π‘₯)

π‘Ž (π‘₯)

Dengan 𝑃1 (π‘₯) = π‘Ž1(π‘₯) π‘‘π‘Žπ‘› 𝑃2(π‘₯) = 0 π‘Ž (π‘₯) 2

2

Suatu titik π‘₯0 dalam interval 𝐴1 < π‘₯ < 𝐴2 dikatakan titik biasa dari persamaan

diferensial (1) jika kedua funsi 𝑃1 (π‘₯) π‘‘π‘Žπ‘› 𝑃2(π‘₯) dalam bentuk normal (2)

keduannya

analitik

pada

π‘₯0 .

Jika

salah

satu

atau

kedua

fungsi

𝑃1 (π‘₯)π‘‘π‘Žπ‘› 𝑃2 (π‘₯)tersebut tidak analitik pada titik π‘₯0, maka π‘₯0 disebut tituk singular dari persaamaan (1)

Contoh 2.1 Perhatikan persamaan diferensial 𝑦 β€²β€² + π‘₯𝑦 β€² + (π‘₯ 2 + 2)𝑦 = 0.

Maka 𝑃1 (π‘₯) = π‘₯ π‘‘π‘Žπ‘› 𝑃2 (π‘₯) = π‘₯ 2 , yang merupakan fungsi – fungsi polinomial.

Dari pembahasan, diketahui bahwa fungsi polinomial itu analitik dimana – mana. Jadi semua titik murupakan titik biasa dari persamaan yang diketahui.

7

BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan 1. Deret pangkat merupakan suatu bentuk deret tak hingga. 2. Disebut deret pangkat dalam x dimana x adalah variabel dan 𝒂𝒏 adalah konstanta sebarang, atau π’‚πŸŽ , π’‚πŸ , … , 𝒂𝒏 , … adalah koefisien – koefisien

konstan dari deret pangkat itu, x adalah variabel dari deret pangkat, dan

π’™πŸŽ pada ( 2 ) adalah titik tertentu yang disebut pusat dari deret pangkat

tersebut.

3. Himpunan semua bilangan x yang menyebabkan suatu deret pangkat konvergen disebut interval konvergensi deret. Bila R dari syarat (c) dalam teorema 1.1 di atas disebut jari – jari konvergensi dari deret. Jika deret (a) berlaku, maka R = 0 dan jika syarat (b) berlaku maka 𝑅 = ∞.

4. Metode deret pangkat merupakan suatu metode umum untuk memecahkan persamaan

diferensial,

termasuk

persamaan

𝑦" + 𝒑(𝒙)π’šβ€² + 𝒒(𝒙)π’š =

𝟎dengan p(x) dan q(x) fungsi terhadap x. Metode ini menghasilkan solusi terbentuk deret pangkat , oleh karena itu metode ini dinamakan metode deret pangkat B. Saran Penulis tentunya masih menyadari jika makalah diatas masih terdapat

banyak kesalahan dan jauh dari kesempurnaan . Penulis akan memperbaiki makalah tersebut dengan berpedoman pada banyak sumber serta ktitik yang membangun dari pembaca.

8

DAFTAR PUSTAKA

Metode deret Pangkat , Online : https://slideplayer.info/slide/3667864/(diakses pada 12 mei 2022) Eny Noviati, Persamaan diferensial legendre dan penerapan nya, Online : https://repository.usd.ac.id/27011/2/043114005_Full.pdf (diakses pada 12 mei 2022) Beradeta Tri Widyastuti, Penyelesian persamaan diferensial linier homogen orde kedua dengan koefisien variabel dengan metode deret, Online : https://repository.usd.ac.id/27218/2/943114016_Full.pdf(diakses pada 12 Mei 2022)

9

Data Loading...