คณิตศาสตร์ พค31001 - PDF Flipbook

268 Views
105 Downloads
PDF 4,286,402 Bytes

Download as PDF

REPORT DMCA

---

เอกสารสรุปเนื้อหาที่ต้องรู้ รายวิชาคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย รหัส พค31001

หลักสูตรการศึกษานอกระบบระดับการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551

สานักงานส่งเสริมการศึกษานอกระบบและการศึกษาตามอัธยาศัย สานักงานปลัดกระทรวงศึกษาธิการ กระทรวงศึกษาธิการ ห้ามจาหน่าย หนังสือเรียนนี้จัดพิมพ์ด้วยเงินงบประมาณแผ่นดินเพื่อการศึกษาตลอดชีวิตสาหรับประชาชน ลิขสิทธิ์เป็นของสานักงาน กศน.สานักงานปลัดกระทรวงศึกษาธิการ

สารบัญ คาแนะนาการใช้เอกสารสรุปเนื้อหาที่ต้องรู้

หน้า 1

โครงสร้างรายวิชาคณิตศาสตร์

3

แบบทดสอบก่อนเรียน

4

บทที่ 1 จานวนและการดาเนินการ

9

เรื่องที่ 1 ความสัมพันธ์ของระบบจานวนจริง

10

เรื่องที่ 2 สมบัติการบวก การลบ การคูณ และการหารจานวนจริง

11

เรื่องที่ 3 สมบัติการไม่เท่ากัน

14

เรื่องที่ 4 ค่าสัมบูรณ์

16

บทที่ 2 เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนตรรกยะ

19

เรื่องที่ 1 จานวนตรรกยะ และจานวนอตรรกยะ

20

เรื่องที่ 2 จานวนจริงในรูปกรณฑ์

22

เรื่องที่ 3 การบวก การลบ การคูณ การหาร

24

เรื่องที่ 4 จานวนที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนตรรกยะและจานวนจริงในรูปกรณฑ์

24

บทที่ 3 เซต

30

เรื่องที่ 1 เซต (Sets)

31

เรื่องที่ 2 การดาเนินการของเซต

36

เรื่องที่ 3 แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์และการแก้ปัญหา

38

บทที่ 4 การให้เหตุผล

46

เรื่องที่ 1 การให้เหตุผล

47

เรื่องที่ 2 การอ้างเหตุผลโดยใช้แผนภาพของเวนน์- ออยเลอร์

51

บทที่ 5 อัตราส่วนตรีโกณมิติและการนาไปใช้

53

เรื่องที่ 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ

54

เรื่องที่ 2 การหาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30, 45 และ 60 องศา

59

เรื่องที่ 3 การนาอัตราส่วนตรีโกณมิติไปใช้แก้ปัญหาเกี่ยวกับการวัดระยะทางและความสูง

63

สารบัญ (ต่อ) บทที่ 6 การใช้เครื่องมือและการออกแบบผลิตภัณฑ์

หน้า 67

เรื่องที่ 1 การสร้างรูปเรขาคณิตโดยใช้เครื่องมือ

68

เรื่องที่ 2 การแปลงทางเรขาคณิต

77

บทที่ 7 สถิติเบื้องต้น

81

เรื่องที่ 1 การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น

82

เรื่องที่ 2 การหาค่ากลางของข้อมูล โดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม

84

บทที่ 8 ความน่าจะเป็น เรื่องที่ 1 กฎเบื้องต้นเกี่ยวกับการนับและแผนภาพต้นไม้

96 97

เรื่องที่ 2 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

102

เรื่องที่ 3 การนาความน่าจะเป็นไปใช้

106

บทที่ 9 การใช้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในงานอาชีพ

107

เรื่องที่ 1 ลักษณะ ประเภทของงานอาชีพที่ใช้ทักษะทางคณิตศาสตร์

108

เรื่องที่ 2 การนาความรู้ทางคณิตศาสตร์ไปใช้ในงานอาชีพได้

112

แบบทดสอบหลังเรียน

116

ภาคผนวก

119

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน

120

เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน

120

คณะผู้จัดทา

130

1

คาแนะนาการใช้เอกสารสรุปเนื้อหาที่ต้องรู้ เอกสารสรุ ป เนื้ อหาที่ ต้องรู้ รายวิช าคณิตศาสตร์ ระดับ มัธ ยมศึกษาตอนปลาย รหั ส พค 31001 ใช้สาหรับนักศึกษาหลักสูตรการศึกษานอกระบบระดับการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 แบ่งออกเป็น 2 ส่วน คือ ส่วนที่ 1 โครงสร้างรายวิชา แบบทดสอบก่อนเรียน โครงสร้างของแต่ละบท เนื้อหาสาระ กิจกรรม ท้ายบท และแบบทดสอบหลังเรียน ส่วนที่ 2 เฉลยกิจกรรมท้ายบท และเฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและหลังเรียน วิธีใช้เอกสารสรุปเนื้อหาที่ต้องรู้ ให้นักศึกษาดาเนินการตามขั้นตอน ดังนี้ 1. ศึกษารายละเอียดโครงสร้างรายวิชาโดยละเอียด เพื่อให้ทราบว่านักศึกษาต้องเรียนรู้เนื้อหาในเรื่อง ใดบ้างในรายวิชานี้ 2. วางแผนเพื่อกาหนดระยะเวลาและจัดเวลาที่นักศึกษามีความพร้อมที่จะศึกษาเอกสารสรุปเนื้อหาที่ ต้องรู้ เพื่อให้สามารถศึกษารายละเอียดของเนื้อหาได้ครบทุกบท 3. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน เพื่อทราบพื้นฐานความรู้เดิมของนักศึกษา โดยตรวจสอบคาตอบจาก เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนท้ายเล่ม 4. ศึ ก ษาเนื้ อ หาสาระในแต่ ล ะบทอย่ า งละเอี ย ดให้ เ ข้ า ใจ และท ากิ จ กรรมท้ า ยบทที่ ก าหนดไว้ ใ ห้ ครบถ้วน 5. เมื่อทากิจกรรมท้ายบทเสร็จแต่ละกิจกรรมแล้ว นักศึกษาสามารถตรวจสอบคาตอบได้จากเฉลย ท้ายเล่ม หากนักศึกษายังทากิจกรรมไม่ถูกต้อง ให้นักศึกษากลับไปทบทวนเนื้อหาสาระในเรื่องนั้นซ้าจนกว่าจะ เข้าใจ 6. เมื่อศึกษาเนื้อหาสาระครบทุกบทแล้ว ให้นักศึกษาทาแบบทดสอบหลังเรียนและตรวจคาตอบจาก เฉลยท้ายเล่มว่านักศึกษาสามารถทาแบบทดสอบได้ถูกต้องทุกข้อหรือไม่ หากข้อ ใดยังไม่ถูกต้อง ให้นักศึกษา กลับไปทบทวนเนื้อหาสาระในเรื่องนั้นให้เข้าใจอีกครั้งหนึ่ง นักศึกษาควรทาแบบทดสอบหลังเรียนให้ได้คะแนน มากกว่าแบบทดสอบก่อนเรียน และควรได้คะแนนไม่น้อยกว่าร้อยละ 60 ของแบบทดสอบทั้งหมด เพื่อให้มั่นใจ ว่าจะสามารถสอบปลายภาคผ่าน 7. หากนั ก ศึ ก ษาได้ ท าการศึ ก ษาเนื้ อ หาสาระแล้ ว ยั ง ไม่ เ ข้ า ใจ นั ก ศึ ก ษาสามารถสอบถามและขอ คาแนะนาได้จากครูหรือแหล่งค้นคว้าเพิ่มเติมอื่นๆ

2 8.

เอกสารสรุปเนื้อหาที่ต้องรู้เล่มนี้มี 7 บท คือ บทที่ 1 จานวนและการดาเนินการ บทที่ 2 เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนตรรกยะ บทที่ 3 เซต บทที่ 4 การให้เหตุผล บทที่ 5 อัตราส่วนตรีโกณมิติและการนาไปใช้ บทที่ 6 การใช้เครื่องมือและการออกแบบผลิตภัณฑ์ บทที่ 7 สถิติเบื้องต้น บทที่ 8 ความน่าจะเป็น บทที่ 9 การใช้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในงานอาชีพ

หมายเหตุ : ให้ครูนากิจกรรมท้ายบทในแต่ละบท มาประเมิน นักศึกษา โดยเลือกเรื่องที่มีความจาเป็นและ สาคัญ เพื่อเป็นคะแนนระหว่างภาค

3

โครงสร้างรายวิชาคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย (พค 31001) สาระสาคัญ มีความรู้ความเข้าใจเกี่ยวกับจานวนและตัวเลข เศษส่วน ทศนิยมและร้อยละ การวัด เรขาคณิต สถิติ และความน่าจะเป็นเบื้องต้น ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง 1. ระบุหรือยกตัวอย่างเกี่ยวกับจานวนและตัวเลขเศษส่วน ทศนิยมและร้อยละ การวัด เรขาคณิต สถิติ และความน่าจะเป็นเบื้องต้นได้ 2. สามารถคิ ด ค านวณและแก้ โ จทย์ ปั ญ หาเกี่ ยวกั บ จ านวนนั บ เศษส่ ว น ทศนิ ย ม ร้ อ ยละ การวัด เรขาคณิตได้ ขอบข่ายเนื้อหา บทที่ 1 จานวนและการดาเนินการ บทที่ 2 เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนตรรกยะ บทที่ 3 เซต บทที่ 4 การให้เหตุผล บทที่ 5 อัตราส่วนตรีโกณมิติและการนาไปใช้ บทที่ 6 การใช้เครื่องมือและการออกแบบผลิตภัณฑ์ บทที่ 7 สถิติเบื้องต้น บทที่ 8 ความน่าจะเป็น บทที่ 9 การใช้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในงานอาชีพ สื่อการเรียนรู้ เอกสารสรุปเนื้อหาที่ต้องรู้

4

แบบทดสอบก่อนเรียน 1. ข้อใดไม่ ถูกต้ อง ก. 0.001001001... เป็ นจำนวนตรรกยะ ข. 0.110110110110... เป็ นจำนวนอตรรกยะ ค. 0.59999... เป็ นจำนวนตรรกยะ ง. π เป็ นจำนวนอตรรกยะ 2. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง ก.

22 7

เป็ นจำนวนตรรกยะ

ข. 3 π เป็ นจำนวนตรรกยะ ค. ถ้ำ x เป็ นจำนวนอตรรกยะ แล้ว x2 เป็ น จำนวนตรรกยะ ง. 1.3333... เป็ นจำนวนอตรรกยะ 3. จงหำค่ำของ  ก. 5 5 ข. 25 2 ค. 25 5 ง. 50 4.

 9x 2 y 2   2x 5 y 

8  18

  10     18y   



2

5.

ทำให้อยูใ่ นรู ปอย่ำงง่ำย ตรงกับข้อใด ก. 4 ข. 6 ค. 12 ง. 16 3

54  3 4

6. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง ก. เซตของสระในภำษำอังกฤษคือ {a, e, i, o, y} ข. เซตของจำนวนบวก ตั้งแต่ 2 ถึง 6 คือ {2, 3, 4, 5} ค. เซตของจำนวนประชำกรในประเทศไทย ในขณะนี้ เป็ นเซตจำกัด ง. เซตของเดือนที่มี 30 วัน เป็ นเซตว่ำง 7. จำกแผนภำพต่อไปนี้ ส่ วนที่แรงเงำ ตรงกับข้อใด A

ทำให้อยูใ่ นรู ปอย่ำงง่ำย

ตรงกับข้อใด ก. ข. ค. ง.

5 2y 5 2x 3 2 x 2 y2

B

U ก. ข. ค. ง.

A  B (A  B) 

AB (A  B) 

5

8. กำหนด A = {1, 2, 3} , B = {2, 4, 6} แล้ว A  B ตรงกับข้อใด ก. {2} ข. {1, 2, 3} ค. {2, 4, 6} ง. {1, 2, 3, 4, 6} 9. พิจำรณำข้อควำมต่อไปนี้ อรุ ณทดลองชัง่ น้ ำหนักจำกเครื่ องชัง่ 3 เครื่ อง ผลดังนี้ เครื่ องชัง่ ที่ 1 อรุ ณหนัก 60.5 กิโลกรัม เครื่ องชัง่ ที่ 2 อรุ ณหนัก 59.4 กิโลกรัม เครื่ องชัง่ ที่ 3 อรุ ณหนัก 60.2 กิโลกรัม เขำจึงสรุ ปว่ำ เขำมีน้ ำหนัก 60 กิโลกรัม จำกข้อควำมข้ำงต้น อรุ ณสรุ ปน้ ำหนักของ ตนเอง เป็ นกำรใช้หลักกำรให้เหตุผลแบบใด ก. อัตนัย ข. อุปนัย ค. ปรนัย ง. นิรนัย

10. กำหนดเหตุ 1. สันติเป็ นนักฟุตบอล 2. นักฟุตบอลทุกคนแข็งแรง ใช้แผนภำพ เวนน์ – ออยเลอร์ เขียนเหตุที่กำหนดได้กี่แบบ ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4 11. จงหำค่ำของ

sin 45   cos 30  cos 45   sin 60 

ก. –1 ข. 0 ค. 1 ง. 2 12. นุชยืนห่ำงจำกอำคำรแห่ งหนึ่ง 100 เมตร เมื่อมองขึ้นไปบนยอดตึก เป็ นมุมเงย 60 องศำ ตึกหลังนี้สูงประมำณกี่เมตร ก. 100 3 เมตร ข. 50 3 เมตร ค. ง.

100 3 50 3

เมตร เมตร

6

13. ภำพในข้อใดเป็ นกำรหมุน 90๐ ตำมเข็มนำฬิกำ ก.

ข.

14.

จำกรู ปเรขำคณิ ตสำมมิติที่กำหนดให้ ภำพใดต่อไปนี้ แสดงภำพที่ได้จำกกำรมอง ด้ำนบน ก.

ค. ข.

ง.

ค.

ง.

7

15. กำหนดข้อมูล คะแนนของนักศึกษำ 9 คนดังนี้ 15, 9, 12, 13 , 10, 20, 13, 16, 18 ค่ำเฉลี่ยเลขคณิ ต ฐำนนิยม และ มัธยฐำน เท่ำกับข้อใดตำมลำดับ ก. 14, 13, 13 ข. 13, 13, 14 ค. 14, 13, 14 ง. 13, 14, 13 16. กำหนดตำรำงแจกแจงควำมถี่ คะแนน (xi) 5 6 7 8 9

ควำมถี่ (f) 1 5 10 3 1

ค่ำเฉลี่ยเลขคณิ ต และฐำนนิยมของคะแนน เท่ำกับข้อใด ตำมลำดับ ก. 6.9, 9 ข. 6.9, 7 ค. 8, 6.9 ง. 7, 6.9

17. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลขนำดเดียวกัน เป็ นสี แดง 2 ลูก เป็ นสี ขำว 3 ลูก สุ่ มหยิบลูก บอล 2 ลูกขึ้นมำพร้อมกัน ควำมน่ำจะเป็ นที่ จะได้ลูกบอลสี ต่ำงกันเท่ำกับเท่ำใด ก. ข. ค. ง.

4 10 5 10 6 10 7 10

18. โยนลูกเต๋ ำ 2 ลูก 1 ครั้ง ควำมน่ำจะเป็ นที่ ลูกเต๋ ำหงำย มีผลบวกเท่ำกับ 8 เท่ำกับเท่ำใด ก. ข. ค. ง.

6 36 5 36 4 36 3 36

8

19. นำยสมชำยได้รับเงินเดือนๆละ 32,000 บำท สำมำรถหักค่ำใช้จ่ำยได้ร้อยละ 40 ของเงิน ได้พึงประเมิน แต่ไม่เกิน 60,000 บำท หักค่ำ ลดหย่อนผูม้ ีเงินได้ 30,000 บำท หักค่ำ ลดหย่อนสำหรับภรรยำ 30,000 บำท สิ้ นปี นำยสมชำยยืน่ แบบแสดงรำยกำร ภำษีเงินได้ บุคคลธรรมดำจะต้องชำระภำษีหรื อไม่ ถ้ำ ต้องชำระภำษีเป็ นเงินเท่ำไร (เงินได้พึงประเมิน 1 – 150,000 บำท ยกเว้น กำรเสี ยภำษี 150,000 – 300,000 บำท เสี ย ภำษีในอัตรำ 5%) ก. ไม่ตอ้ งชำระ ข. ชำระเป็ นเงิน 3,800 บำท ค. ชำระเป็ นเงิน 4,200 บำท ง. ชำระเป็ นเงิน 5,700 บำท 20. นำยประสพโชค เป็ นตัวแทนขำย เครื่ องใช้ไฟฟ้ำ ซึ่ งมีรำคำ 12,500 บำท ให้กบั ผูใ้ ช้ไฟฟ้ำโดยคิดค่ำนำยหน้ำ 10% อยำก ทรำบว่ำ นำยประสพโชคจะต้องส่ งเงินให้บริ ษทั เท่ำไร ก. 1,250 ข. 11,500 ค. 11,250 ง. 12,000

ดูเฉลยแบบทดสอบท้ ายเล่ ม

9

บทที่ 1 จานวนและการดาเนินการ สาระสาคัญ 1. โครงสร้ำงของจำนวนจริ งประกอบไปด้วย จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ และจำนวนเต็ม 2. สมบัติของจำนวนจริ งที่เกี่ยวกับกำรบวกและกำรคูณ ประกอบไปด้วยสมบัติปิด สมบัติกำร เปลี่ยนหมู่ สมบัติกำรสลับที่ กำรมีอินเวอร์ ส กำรมีเอกลักษณ์และสมบัติกำรแจกแจง 3. กำรเท่ำกันจะใช้เครื่ องหมำย “ = ” แทนกำรมีค่ำเท่ำกัน 4. กำรไม่เท่ำกันจะใช้เครื่ องหมำย “ ≠ , < , >, ≤ , ≥” 5. ค่ำสัมบูรณ์ใช้สัญลักษณ์ “ | |” โดย x ถ้ำ x > 0 x  0 ถ้ำ x = 0 -x ถ้ำ x < 0 ผลการเรียนรู้ ทคี่ าดหวัง 1. แสดงควำมสัมพันธ์ของจำนวนต่ำง ๆ ในระบบจำนวนจริ งได้ 2. อธิ บำยควำมหมำยและหำผลลัพธ์ที่เกิดจำกกำรบวก กำรลบ กำรคูณ กำรหำรจำนวนจริ งได้ 3. อธิ บำยสมบัติของจำนวนจริ งที่เกี่ยวกับกำรบวก กำรคูณ กำรเท่ำกัน กำรไม่เท่ำกัน และ นำไปใช้ได้ 4. อธิ บำยเกี่ยวกับค่ำสัมบูรณ์ของจำนวนจริ งและหำค่ำสมบูรณ์ของจำนวนจริ งได้ ขอบข่ ายเนื้อหา เรื่ องที่ 1 เรื่ องที่ 2 เรื่ องที่ 3 เรื่ องที่ 4

ควำมสัมพันธ์ของระบบจำนวนจริ ง สมบัติของกำรบวก กำรลบ กำรคูณ และกำรหำรจำนวนจริ ง สมบัติกำรไม่เท่ำกัน ค่ำสัมบูรณ์

10

เรื่ องที่ 1 ควำมสัมพันธ์ของระบบจำนวนจริ ง

1.1. โครงสร้ างของจานวนจริง

จำนวนจริง

จำนวนอตรรกยะ

จำนวนตรรกยะ

ยะ จำนวนในรูปกรณฑ์

ทศนิยม

ที่ถอดกรณฑ์ไม่ได้

ไม่ร้ ูจบแบบไม่ซ ้ำ

จำนวนเต็ม

จำนวนนับหรื อ จำนวนเต็มบวก

ทศนิยมซ ้ำ

ศูนย์

เศษส่วน

จำนวน เต็มลบ

จานวนจริง (Real number) ประกอบด้วยจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ 1. จานวนตรรกยะ (Rational number) คือ จำนวนที่เขียนในรู ปเศษส่ วนได้ เมื่อตัวเศษและตัวส่ วนเป็ น จำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์ ตัวอย่ำงของจำนวนตรรกยะ เช่น จำนวนเต็ม ทศนิยมซ้ ำ และเศษส่ วน 1. จำนวนเต็ม แบ่งเป็ น 3 ชนิด คือ 1.1 จำนวนเต็มบวกหรื อจำนวนนับ เช่น 1, 2, 3, ... 1.2 ศูนย์ มีจำนวนเดียว คือ 0 1.3 จำนวนเต็มลบ เช่น -1, -2, -3, ... 2. เศษส่ วน เช่น

3 , 33 ,- 5 4 7 4

เป็ นต้น

3. ทศนิยมซ้ ำ เช่น 0. 6̇ , 0. 1̇2̇ , 0.52̇3̇ 2. จานวนอตรรกยะ (Irrational Number) คือจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ เขียนได้ในรู ปทศนิยมไม่ซ้ ำ เช่น 2 มีค่ำเท่ำกับ 1.414213… ดังนั้น 2 มีค่ำประมำณ 1.414 3 มีค่ำเท่ำกับ 1.7320508… ดังนั้น 3 มีค่ำประมำณ 1.732 π มีค่ำเท่ำกับ 3.14159265… ดังนั้น π มีค่ำประมำณ 3.14 0.1010010001… มีค่ำประมำณ 1.101 วีดิทัศน์ เรื่อง โครงสร้างของจานวนจริง

11

เรื่ องที่ 2 สมบัติการบวก การลบ การคูณ และการหารจานวนจริง สมบัติของจำนวนจริ งที่ใช้ในกำรบวก กำรลบ กำรคูณ และกำรหำร มีดงั นี้ 2.1 สมบัติการเท่ากันของจานวนจริง กำหนด a, b, c เป็ นจำนวนจริ งใดๆ ตัวอย่ำง สมบัติกำรสะท้อน สมบัติกำรสมมำตร สมบัติกำรถ่ำยทอด

=a ถ้ำ a = b แล้ว b = a ถ้ำ a = b และ b = c แล้ว a=c สมบัติกำรบวกด้วยจำนวนที่เท่ำกันทั้งสองข้ำง ถ้ำ a = b แล้ว a + c = b+ c สมบัติกำรคูณด้วยจำนวนที่เท่ำกันทั้งสองข้ำง ถ้ำ a = b แล้ว a

ac  bc

2=2 ถ้ำ 5 = 2 + 3 แล้ว 2 + 3 = 5 ถ้ำ 4 = 22 และ 22 = 2 × 2 แล้ว 4=2×2 ถ้ำ 5 = 2 + 3 แล้ว 5 + 4 = (2 + 3) +4 ถ้ำ 10 = 5 × 2 แล้ว 10 × 3 = (5 × 2) × 3

2.2 สมบัติการบวกและการคูณในระบบจานวนจริง เมื่อกำหนดให้ a, b และ c เป็ นจำนวนจริ ง 2.2.1 สมบัติการบวก ตัวอย่ำง สมบัติปิด ถ้ำ a  R และ b  R แล้ว a  b  R 2  R และ 3  R แล้ว 2 + 3  R a b= b a สมบัติกำรสลับที่ 2+3=3+2 a  (b  c) = (a  b)  c สมบัติกำรเปลี่ยนหมู่ 2 + (3 + 5) = (2 + 3) + 5 สมบัติกำรมีเอกลักษณ์ เอกลักษณ์กำรบวก คือ 0 0+2=2+0=2 0a  a0  a สมบัติกำรมีอินเวอร์สกำรบวก a มีอินเวอร์สกำรบวก คือ  a และ อินเวอร์สกำรบวกของ 5 คือ -5 และ  a มีอินเวอร์ สกำรบวก คือ a อินเวอร์สกำรบวกของ -5 คือ จะได้ a  (a)  (a)  a  0 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0 นัน่ คือจำนวนจริ ง a จะมี  a เป็ น อินเวอร์สของกำรบวก

วีดิทัศน์ เรื่อง สมบัติการเท่ากันของจานวนจริง

วีดิทัศน์ เรื่อง สมบัติการบวกในระบบจานวนจริง

12

2.2.2 สมบัติการคูณ สมบัติปิด สมบัติกำรสลับที่ สมบัติกำรเปลี่ยนหมู่ สมบัติกำรมีเอกลักษณ์ สมบัติกำรมีอินเวอร์สกำรคูณ (ยกเว้น 0 เพรำะ ควำมหมำย)

1 0

ไม่มี

ถ้ำ a  R และ b  R แล้ว ab  R ab = ba a (bc) = (ab)c เอกลักษณ์กำรคูณ คือ 1 1· a = a ·1= a a 1 a

มีอินเวอร์สกำรคูณ คือ

1 a

และ

มีอินเวอร์สกำรคูณ คือ a

จะได้ a  1    1 a  1 ; a  0 a a นัน่ คือ จำนวนจริ ง a จะมี 1 เป็ น a

ตัวอย่ำง 2  R และ 3  R แล้ว 2 (3)  R 2 (3) = 3 (2) 2 × (3 × 5) = (2 × 3) × 5 = 30 1×5=5×1=5 5 มีอินเวอร์สกำรคูณ คือ มีอินเวอร์สกำรคูณ คือ 5

อินเวอร์สกำรคูณของ 5 คือ หรื อ 5-1

อินเวอร์สกำรคูณ อินเวอร์สกำรคูณ ของ a เขียนแทนด้วย a -1 สมบัติกำรแจกแจง

a (b  c)  ab  ac (b  c)a  ba  ca

1 5

2 (3 + 5) = 2 (3) + 2 (5) (3 + 5) 2 = 3 (2) + 5 (2)

จำกสมบัติของจำนวนจริ งสำมำรถใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้ ทฤษฎีบทที่ 1 กฎการตัดออกสาหรับการบวก ตัวอย่าง เมื่อ a, b, c เป็ นจำนวนจริ งใดๆ ถ้ำ a + c = b + c แล้ว a = b ถ้ำ 4 + 3 = 22 + 3 แล้ว 4 = 22 ถ้ำ a + b = a + c แล้ว b = c ถ้ำ 4 + 5 = 4 + (2 + 3) แล้ว 5 = 2 + 3 ทฤษฎีบทที่ 2 กฎการตัดออกสาหรับการคูณ เมื่อ a, b, c เป็ นจำนวนจริ งใดๆ ถ้ำ ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b ถ้ำ 4 (3) = 22 (3) แล้ว 4 = 22 ถ้ำ ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c ถ้ำ 4 (5) = 4 (2 + 3) แล้ว 5 = 2 + 3 ทฤษฎีบทที่ 3 เมื่อ a เป็ นจานวนจริงใด ๆ 2×0=0 a·0=0 0×2=0 0·a=0

และ 1 5

1 5

13

ทฤษฎีบทที่ 4 เมื่อ a เป็ นจานวนจริงใด ๆ (-1)a = -a a(-1) = -a ทฤษฎีบทที่ 5 เมื่อ a, b เป็ นจานวนจริงใด ถ้ำ ab = 0 แล้ว a = 0 หรื อ b = 0 ทฤษฎีบทที่ 6 เมื่อ a, b เป็ นจานวนจริงใด ๆ a(-b) = -ab (-a)b = -ab (-a)(-b) = ab

การลบและการหารจานวนจริง

ตัวอย่าง (-1) 2 = -2 2 (-1) = 2

2 (-3) = -2 (3) (-2) 3 = -2 (3) (-2) (-3) = 2 (3)

วีดิทัศน์ เรื่อง สมบัติการคูณในระบบจานวนจริง

• กำรลบจำนวนจริ ง บทนิยาม เมื่อ a, b เป็ นจำนวนจริ งใด ๆ a - b = a + (-b) นัน่ คือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์ สกำรบวกของ b • กำรหำรจำนวนจริ ง บทนิยาม เมื่อ a, b เป็ นจำนวนจริ งใด ๆ เมื่อ b ≠ 0 และ b-1 เป็ นอินเวอร์สกำรคูณของ a a = a ( b 1 ) b

นัน่ คือ

a b

คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์ สกำรคูณของ b

วีดิทัศน์ เรื่อง การแก้สมการกาลังหนึ่งตัวแปรเดียว

วีดิทัศน์ เรื่อง การแก้สมการกาลังสอง โดยวิธีทาเป็นกาลังสองสมบูรณ์

ตัวอย่างเช่น 5 – 3 = 5 + (-3) นัน่ คือ 5 – 3 คือผลบวกของ 5 กับอินเวอร์ ส กำรบวกของ 3 เช่น 5 2

=5×

นัน่ คือ

5 2

1 2

= 5 (2-1)

คือผลคูณของ 5 กับอินเวอร์ ส

กำรคูณของ 2

วีดิทัศน์ เรื่อง การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว โดยวิธีแยกตัวประกอบ

วีดิทัศน์ เรื่อง การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว โดยวิธีใช้สูตร

14

เรื่ องที่ 3 สมบัติการไม่ เท่ ากัน ประโยคคณิ ตศำสตร์ จะใช้สัญลักษณ์ > , < , ≥ , ≤ , ≠ แทนกำรไม่เท่ำกัน บทนิยาม

a < b หมำยถึง a น้อยกว่ำ b a > b หมำยถึง a มำกกว่ำ b

กำหนดให้ a, b, c เป็ นจำนวนจริ งใด ๆ 1. สมบัติกำรถ่ำยทอด ถ้ำ a > b และ b > c แล้ว a > c เช่น 8 > 5 และ 5 > 3 แล้ว 8 > 3 2. สมบัติกำรบวกด้วยจำนวนที่เท่ำกัน ถ้ำ a > b แล้ว a + c > b+ c เช่น 5 > 0 แล้ว 5 + 3 > 0 + 3 3. จำนวนจริ งบวกและจำนวนจริ งลบ a เป็ นจำนวนจริ งบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0 เช่น 2 เป็ นจำนวนจริ งบวกก็ต่อเมื่อ 2 > 0 a เป็ นจำนวนจริ งลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0 เช่น -2 เป็ นจำนวนจริ งลบก็ต่อเมื่อ -2 < 0 4. สมบัติกำรคูณด้วยจำนวนเท่ำกันที่ไม่เท่ำกับศูนย์ กรณี ที่ 1 ถ้ำ a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc เช่น ถ้ำ 5 > -3 แล้ว 5(2) > (-3)(2) หรื อ 10 > -6 กรณี ที่ 2 ถ้ำ a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc เช่น ถ้ำ 5 > -3 แล้ว 5(-2) < (-3)(-2) หรื อ -10 < 6 5. สมบัติกำรตัดออกสำหรับกำรบวก ถ้ำ a + c > b + c แล้ว a > b เช่น ถ้ำ 5 + 2 > 3 + 2 แล้ว 5 > 3 6. สมบัติกำรตัดออกสำหรับกำรคูณ กรณี ที่ 1 ถ้ำ ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b เช่น ถ้ำ 5(2) > (-3)(2) แล้ว 5 > -3 กรณี ที่ 2 ถ้ำ ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b เช่น ถ้ำ (-3)(2) > 5(-2) แล้ว -3 < 5 บทนิยาม a≤b a≥b a 0 แล้ว | x + y | = | x | + | y | 6.2 ถ้ำ xy < 0 แล้ว | x + y | < | x | + | y | 7. เมื่อ a เป็ นจำนวนจริ งบวก | x | < a หมำยถึง – a < x < a | x | ≤ a หมำยถึง – a ≤ x ≤ a 8. เมื่อ a เป็ นจำนวนจริ งบวก | x | > a หมำยถึง x < – a หรื อ x > a | x | ≥ a หมำยถึง x ≤ – a หรื อ x ≥ a

ตัวอย่าง | 3 | = | -3 | = 3 | 3(-2) | = | 3 || -2 | = 6 10 10 = =2 -5 -5 | 10 - 3 | = | 3 – 10 | = 7 | 5 |2 = 52 = 25 เช่น x = 2 y = 3 แล้ว | 2 + 3 | = | 2 | + | 3 | = 5 เช่น x = 2 y = – 3 แล้ว | 2 + (– 3) | < | 2 | + |– 3| 1 < 5 | x | < 3 หมำยถึง – 3 < x < 3 | x | ≤ 3 หมำยถึง – 3 ≤ x ≤ 3 | x | > 3 หมำยถึง x < – 3 หรื อ x > 3 | x | ≥ 3 หมำยถึง x ≤ – 3 หรื อ x ≥ 3

17

วีดิทัศน์ เรื่อง ค่าสัมบูรณ์

วีดิทัศน์ เรื่อง ค่าสัมบูรณ์และการนาไปใช้ (การแก้สมการ)

วีดิทัศน์ เรื่อง ค่าสัมบูรณ์และการนาไปใช้ (การแก้อสมการ)

18

กิจกรรมบทที่ 1

แบบฝึ ดหัดที่ 1

จงเขียนแสดงช่วงต่ำงๆ ที่แสดงบนเส้นจำนวนต่อไปนี้ 1)

2)

-1

0

1 2 3 4

5 6 7 8

ตอบ ................................... ..................................

-1

0

1 2 3 4

5 6 7

8

3) -1

0

1 2 3 4

5 6 7 8

4) -1

0

1 2 3 4

5 6 7 8

5)

ตอบ ................................... .................................. ตอบ ................................... .................................. ตอบ ................................... ..................................

-1

0

1 2 3 4

5 6 7 8

6) -1

0

1 2 3 4

5 6 7 8

7)

ตอบ ................................... .................................. ตอบ ................................... ..................................

-1

0

1 2 3 4

5 6 7 8

8) -5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

ตอบ ................................... .................................. ตอบ ................................... ..................................

ดูเฉลยกิจกรรมท้ ายเล่ม

19

บทที่ 2 เลขยกกาลังทีม่ เี ลขชี้กาลังเป็ นจานวนตรรกยะ สาระสาคัญ 1. 2. 3.

a n อ่ำนว่ำ a ยกกำลัง n โดยมี a เป็ นฐำน และ n เป็ นเลขชี้กำลัง n a อ่ำนว่ำ กรณฑ์ที่ n ของ a

จำนวนจริ งที่อยูใ่ นรู ปเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็ นจำนวนตรรกยะจะมีควำมสัมพันธ์กบั จำนวนจริ งที่อยูใ่ นรู ปของกรณฑ์หรื อ รำก (root) ตำมควำมสัมพันธ์ดงั ต่อไปนี้ 1 m n a = a n และ n a m = a n

4. กำรบวก ลบ คูณ หำร จำนวนที่มีเลขชี้กำลังเป็ นจำนวนตรรกยะโดยใช้บทนิยำมกำรบวก ลบ คูณ หำร เลขยกกำลังของจำนวนเต็ม ผลการเรียนรู้ ทคี่ าดหวัง 1. อธิ บำยควำมหมำยและบอกควำมแตกต่ำงของจำนวนตรรกยะและอตรรกยะได้ 2. อธิ บำยเกี่ยวกับจำนวนจริ งที่อยูใ่ นรู ปเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็ นจำนวนตรรกยะ และ จำนวนจริ งในรู ปกรณฑ์ได้ 3. อธิ บำยควำมหมำยและหำผลลัพธ์ที่เกิดจำกกำรบวก กำรลบ กำรคูณ กำรหำร จำนวนจริ งที่อยู่ ในรู ปเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็ นจำนวนตรรกยะ และจำนวนจริ งในรู ปกรณฑ์ได้ ขอบข่ ายเนื้อหา เรื่ องที่ 1 จำนวนตรรกยะและอตรรกยะ เรื่ องที่ 2 จำนวนจริ งในรู ปกรณฑ์ เรื่ องที่ 3 กำรบวก กำรลบ กำรคูณ กำรหำร จำนวนที่มีเลขชี้กำลังเป็ นจำนวนตรรกยะและ จำนวนจริ งในรู ปกรณฑ์

20

เรื่ องที่ 1 จานวนตรรกยะ และจานวนอตรรกยะ 1.1 จานวนตรรกยะ หมำยถึง จำนวนที่เขียนแทนในรู ปเศษส่ วน ab เมื่อ a และ b เป็ นจำนวนเต็ม ที่ b  0 จำนวนตรรกยะประกอบด้วย 1) จำนวนเต็ม เช่น 5, 0, -2, -1 2) เศษส่ วน เช่น 12 , 35 , -72 •

3) ทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ ำ เช่น 0.1 3 , 0.666... 1.2 จานวนอตรรกยะ หมำยถึง จำนวนที่ไม่สำมำรถเขียนให้อยูใ่ นรู ปเศษส่ วน ab เมื่อ a และ b เป็ นจำนวนเต็ม ที่ b  0 จำนวนอตรรกยะ ประกอบด้วย 1) ทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ ำ เช่น 1.23546..., 3.01001000100001... 2) สัญลักษณ์ π , e ( π มีค่ำประมำณ 3.14285...) 3) จำนวนในรู ปกรณ์ที่ถอดกรณ์ไม่ได้ เช่น 2 , 3 , 5 , ... 1.3 เลขยกกาลังทีม่ ีเลขชี้กาลังเป็ นจานวนเต็ม บทนิยาม

เมื่อ a เป็ นจำนวนใดๆ และ n เป็ นจำนวนเต็มบวก an = a × a × a × … × a n ตัว

เรี ยก an ว่ำเลขยกกำลัง ที่มี a เป็ น ฐำน และ n เป็ นเลขชี้ กำลัง เช่น 54 = 5  5  5  5 = 625 กฎของเลขยกกาลัง ถ้ำ a, b เป็ นจำนวนจริ งโดยที่ m และ n เป็ นจำนวนเต็มบวก กฎข้อที่ 1 am ∙ b n = a m + n เช่น 23  24 = 23 + 4

21

กฎข้อที่ 2

เมื่อ a  0 m

a n a m a n a m a n a

ถ้ำ m  n

=1 m- n

=a

1

=

กฎข้อที่ 3

a m n =

กฎข้อที่ 4

( ab )

กฎข้อที่ 5

  

a

ถ้ำ n  m

n- m

a

mn



เช่น

32 1  5 52 3 3

2

3

= 25 - 3

เช่น (2  5)3 = 23 × 53

= a b n

เช่น

เช่น (52)3 = 52 x 3

n n

n

a  b

ถ้ำ m  n

5

2

an เมื่อ b  0 bn

2 เช่น   3

5 

25 35

บทนิยาม เมื่อ a เป็ นจำนวนจริ ง ที่ไม่เท่ำกับศูนย์ และ n เป็ นจำนวนเต็มบวกแล้ว 0

เมื่อ a

≠

0

a -n = 1n เมื่อ a a

≠

0

a =1

วีดิทัศน์ เรื่อง จานวนตรรกยะ และ อตรรกยะ

22

เรื่ องที่ 2 จานวนจริงในรู ปกรณฑ์

กำรเขียนเลขยกกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็ นจำนวนตรรกยะสำมำรถทำได้โดยอำศัยควำมรู ้เรื่ อง รำกที่ n ของจำนวนจริ ง a และจำนวนจริ งในรู ปกรณ์ ( กรณ์ที่ n ของ a เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ n a ) และมีบทนิยำมดังนี้ บทนิยำม

ให้ n เป็ นจำนวนเต็มบวกที่มำกกว่ำ 1 เมื่อ a และ b เป็ นจำนวนจริ ง a เป็ นรำกที่ n ของ b ก็ต่อเมื่อ a n  b

พิจำรณำตัวอย่ำงต่อไปนี้ เนื่องจำก 23 = 8 เนื่องจำก (–2)5 = –32 เนื่องจำก 32 = 9 และ (–3)2 = 9 ตัวอย่างที่ 1 วิธีทา

ดังนั้น 2 เป็ นรำกที่ 3 ของ 8 ดังนั้น –2 เป็ นรำกที่ 5 ของ -32 ดังนั้น 3 และ –3 เป็ นรำกที่ 2 ของ 9

จงหำค่ำของ 1) 4 16 , 2) 3  27 1) 4 16  4 2  2  2  2 = 2 (หรื อพิจำรณำ 16 = 24 ดังนั้น 4 16 = 2) 2) 3  27  3 (3)  (3)  (3)   3 (หรื อพิจำรณำ (–3)3 = –27 ดังนั้น 3  27 = –3 )

สมบัติของรากที่ n ของจานวนจริง เมื่อ n เป็ นจำนวนเต็มบวกที่มำกกว่ำ 1 โดยที่ a และ b เป็ นจำนวนจริ งที่มีรำกที่ n 1)

 a

n

n



a เมื่อ

n

a

เป็ นจำนวนจริ ง

a เมื่อ a  0 2)

เช่น

a =

3

a เมื่อ a  0 และ n เป็ นจำนวนคู่ เช่น

n

3)

n

ab =

a



n

b

3

53  5

(2) 3   2 (5) 2   5  5

เช่น 12 3

=3

4 2  4,

เช่น

a เมื่อ a  0 และ n เป็ นจำนวนคี่ เช่น

n n

( 3) 2

4 3



 40 



3

4 3



(8)(5) 

3

83 5

 2 3 5

4)

n

a b

n

=

n

a , b0 b

เช่น

3

2  27

3 3



3 2 2  27 3

2 3

23

ตัวอย่ำงที่ 2 จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ให้อยูใ่ นรู ปอย่ำงง่ำย 1) 200 2) 18 3) 3 24 4) วิธีทำ 1) 200 2) 18 3) 3 24 4) 2 6 5) 3 16 3 18

= = = = =

100  2 92 3

8.3 26

3

16  81

= = = = =

2

100

2

9 3

8

3

3

223 3

2 4  34

2 6

5)

3

16 3 81

= 10 2 = 3 2 = 23 3 = 23 = 63 6

วีดิทัศน์ เรื่อง สมบัติรากที่ n ของจานวนจริง (สมบัติข้อที่ 1)

วีดิทัศน์ เรื่อง สมบัติรากที่ n ของจานวนจริง (สมบัติข้อที่ 2)

24

เรื่ องที่ 3 การบวก การลบ การคูณ การหาร จานวนทีม่ เี ลขชี้กาลังเป็ นจานวนตรรกยะและจานวนจริงในรู ปกรณฑ์ 3.1 การบวก และการลบจานวนทีอ่ ยู่ในรู ปกรณฑ์ สมบัติของกำรบวกจำนวนจริ ง ข้อหนึ่งที่สำคัญและมีกำรใช้มำก คือ สมบัติกำรแจกแจงในกำร บวก พจน์คล้ำย ดังตัวอย่ำง 1) 3x  5x  3  5 x  8x 2) 6a  2a  6  2  a  4a สมบัติของกำรแจกแจง สมบัติของกำรแจกแจง ด้วยวิธีกำรเช่นนี้เรำสำมำรถใช้สมบัติกำรแจกแจงในเรื่ องกำรบวก กำรลบ ของจำนวนที่อยูใ่ น เครื่ องหมำยกรณฑ์อนั ดับเดียวกัน ที่เรี ยกว่ำ “พจน์คล้ำย” ดังนั้น 3 2  5 2  3  2   5  2   3  5 2  8 2 สมบัติกำรแจกแจง

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่ าของ วิธีทำ 12  27 

12  27  3 3

=

43  93  3

= 2 3 3 3  3 =

2  3  1

3

= 4 3

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่ าของ วิธีทำ 20  45 

20  45  125 125

= 4 5 9 5 = 2 5 3 5 5 5 = 2  3  5 5 =0 5 =0

25 5

วีดิทัศน์ เรื่อง การบวก ลบจานวนที่อยู่ในรูปกรณฑ์

25

3.2 การคูณ และการหารจานวนทีอ่ ยู่ในรู ปกรณฑ์ การคูณ จำกสมบัติขอ้ ที่ 3 ของรำกที่ n ที่กล่ำวว่ำ n

ab  n a



𝑛



n

เมื่อ n a และ n b เป็ นจำนวนจริ ง

b

n

n

√a . √𝑏 = √ab √2 . √2 = √2 × 2 = √22 = 2 √3 . √5 = √3 × 5 = √15

ตัวอย่ำงที่ 1 จงหำผลคูณและตอบในรู ปอย่ำงง่ำย = 2  3 3  5  1) 2 3 3 5  2)

= (2 × 3) × (√3 × √5 ) = 6√15

= 3 8 5 2

(3 8) (5 2)

= (3 × 5)(√8 × √2)

3) 23 6 53 4

= 15 16 = 15 4 = 60 = 2  5 3 6  3 4

4) 3 2 4 3  5 6 

= (2 × 5) × (√6 × √4) 3 = 10 × √24 3 3 = 10 × √8 × √3 3 = 10 × √3 3 = 20√3

  

3

= = = =

3

3 2 4 3  3 2 5 6 

12 6  15 12 12 6  15 4 3 12 6  30 3

การหาร n

วิธีที่ 1 ใช้สมบัติขอ้ 4

20 = 5 วิธีที่ 2 ใช้สมบัติขอ้ 3 20 = เช่น 5

n

เช่น

n

a n a = เมื่อ b ≠ 0 b b 20 = 4 = 2 5 ab =

n

a n b

5 4 = 5

4 =2 วีดิทัศน์ เรื่อง การหารจานวนที่อยู่ในรูปกรณฑ์

26

วิธีที่ 3 ใช้สมบัติกำรคูณตัวเศษและกำรคูณตัวส่ วนด้วยจำนวนเดียวกัน 100 10 20  5 20 เช่น = = = =2 5 5 5 5 5 ตัวอย่ำงที่ 1 จงเขียนเศษส่ วนต่อไปนี้ โดยให้ตวั ส่ วนไม่อยูใ่ นรู ปกรณฑ์

10 5 5 2 = =  8 16 2 4 2 4 2 2 6 2 3 9 2 3 2 2) = = =  3 3 3 9 3 3 3 4 โดยให้ตวั ส่ วนไม่อยูใ่ นรู ปกรณฑ์ ตัวอย่ำงที่ 2 จงเขียนเศษส่ วน 5 2 4 4 5  2 4 5  2 4 5 4 2 = = = วิธีทำ  5 2 52 3 5 2 5 2 1)

5 = 32 18 = 27

5

=





NOTE : ตัวอย่ำงที่ 2 อำศัยกำรแยกตัวประกอบที่เรี ยกว่ำ ผลต่ำงกำลังสอง (a + b)(a - b) = a2 – b 2



5 3



5 3



=

 5 2   3 2 = 5 – 3 = 2

เครื่ องหมำยต่ำงกัน

วีดิทัศน์ เรื่อง การคูณ หารจานวนทีอ่ ยู่ในรูปกรณฑ์

วีดิทัศน์ เรื่อง การหาค่าจานวนจริงในรูปกรณฑ์

27

3.3 เลขยกกาลังทีม่ ีเลขชี้กาลังเป็ นจานวนตรรกยะ บทนิยาม เมื่อ a เป็ นจำนวนจริ ง n เป็ น จำนวนเต็มที่มำกกว่ำ 1 และ a มีรำกที่ n จะได้วำ่ 1 an

พิจำรณำต่อไปนี้

1)

1 52

2)

1 23

= =

n a

5 3

2

และ

1 ( 5 2 )2

=5

และ

1 ( 2 3 )3

=2

บทนิยาม ให้ a เป็ นจำนวนจริ ง m และ n เป็ นจำนวนเต็มที่ n > 1 และ m an

จะได้วำ่

a ตัวอย่ำงที่ 2

m n

=

1 ( a n )m



(am ) n

m เป็ นเศษส่ วนอย่ำงต่ำ n

= ( n a )m

1 

n

am

จงหำค่ำของจำนวนต่อไปนี้ 1)

2 83

2)

4 27 3

3)

2 125 3

4)

3 42

5)

4 25 3

=

1 [ 8 3 ]2

=

[ 3 8 ]2

=

(2)2

=

4

=

1 [ 27 3 ]4

=

[ 3 27 ]4

=

(3)4

=

81

=

1 [ 125 3 ]2

=

[ 3 125 ]2

=

(5)2

=

25

=

1 [ 4 2 ]3

=

[ 4 ]3

=

(2)3

=

8

=

1 [ 25 4 ] 3

=

253 25

=

3

254

วีดิทัศน์ เรื่อง การบวก ลบ คูณ และหารเลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนตรรกยะ

28

กิจกรรมบทที่ 2 แบบฝึ กหัดที่ 1 1. จงหำว่ำจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้ จำนวนใดเป็ นจำนวนตรรกยะ หรื อจำนวนอตรรกยะ 1) -4

6)

2) 3) 4) 5)

7) 2 8) 2.020020002… 9) 0 10) (3 - 3) π

8 0.666... π -4.9



5 2

2. จงทำให้อยูใ่ นรู ปอย่ำงง่ำยและเลขชี้กำลังเป็ นจำนวนเต็ม 1) 2a3  4a5 2)

6b 6 3b 1

3) (5a2)6 4) (2ab-1)(ab2)-2 5)

3

6)

2 3 3 5

7)

3 0  3 4  310

3 5 2 0 (3) 8

8) (32)4 · 4-9

 

x   y 2 x y

4

แบบฝึ กหัดที่ 2 1. จงหำค่ำของจำนวนจริ งต่อไปนี้ 1) 5)

3

16

2)

3

27

3)

3

82

6)

4

16

7)

3

8 27

4)

3 2

125

8)

3

8

4)

3

24 27

64

2. จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ให้อยูใ่ นรู ปอย่ำงง่ำย โดยใช้สมบัติของ รำกที่ n 1)

36 25

2)

3

8 27

3)

4 49

29

แบบฝึ กหัดที่ 3

1. จงทำจำนวนต่อไปนี้ให้อยูใ่ นรู ปอย่ำงง่ำย 1) 2 3  5 3 2) 4 5  6 5 5) 8  18  2 6) 20  45  80

3) 33 7  53 7 4) 3 8  32 7) 12  27  4 3 8) 53 54  23 16

2. จงหำผลคูณของแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) 6  12 2) 4 2  6 5 

3)

3. จงทำให้ส่วนของจำนวนต่อไปนี้ ไม่ติดอยูใ่ นรู ปกรณฑ์ 6 8 1) 2) 3) 3 32

ดูเฉลยกิจกรรมท้ ายเล่ม

2



3 2

27  12 3



4)



4)

3 3 2 3

7 2



7 2



30

บทที่ 3 เซต

สาระสาคัญ 1. เซต หมำยถึง กลุ่ม คน สัตว์ สิ่ งของ ที่รวมกันเป็ นกลุ่ม โดยมีสมบัติบำงอย่ำงร่ วมกัน และ บรรดำสิ่ งทั้งหลำยที่อยูใ่ นเซตเรี ยกว่ำ “ สมำชิก” ในกำรศึกษำเรื่ องเซตจะประกอบไปด้วย ควำมหมำยของเซต ชนิดของเซต สับเซต และ เอกภพสัมพัทธ์ 2. กำรดำเนิ นกำรของเซต คือ กำรนำเซตต่ำง ๆ มำกระทำร่ วมกันเพื่อให้เกิดเป็ นเซตใหม่ ซึ่ งทำ ได้ 4 วิธีคือ ยูเนี่ยน อินเตอร์ เซคชัน่ ผลต่ำงระหว่ำงเซต และคอมพลีเมนต์ 3. แผนภำพเวนน์ – ออยเลอร์ จะช่วยให้กำรพิจำรณำเกี่ยวกับเซตได้ง่ำยขึ้นโดยใช้หลักกำรคือ 3.1 ใช้รูปสี่ เหลี่ยมผืนผ้ำแทนเอกภพสัมพัทธ์ “U” 3.2 ใช้วงกลมหรื อวงรี แทนเซตต่ำง ๆ ที่เป็ นสมำชิกของ “U” และเขียนภำยในสี่ เหลี่ยมผืนผ้ำ ผลการเรียนรู้ ทคี่ าดหวัง 1. อธิ บำยควำมหมำยเกี่ยวกับเซตได้ 2. สำมำรถหำยูเนี่ยน อินเตอร์ เซกชัน่ ผลต่ำงของเซต และคอมพลีเมนต์ ได้ 3. เขียนแผนภำพแทนเซตและนำไปใช้แก้ปัญหำที่เกี่ยวกับกำรหำสมำชิกของเซตได้ ขอบข่ ายเนื้อหา เรื่ องที่ 1 เซต เรื่ องที่ 2 กำรดำเนินกำรของเซต เรื่ องที่ 3 แผนภำพเวนน์ - ออยเลอร์ และกำรแก้ปัญหำ

31

เรื่ องที่ 1 เซต (Sets)

1.1 ความหมายของเซต เซต หมำยถึง กลุ่มสิ่ งของต่ำง ๆ ไม่วำ่ จะเป็ น คน สัตว์ สิ่ งของหรื อนิพจน์ทำงคณิ ตศำสตร์ ซึ่ งระบุสมำชิกในกลุ่มได้ เช่น 1) เซตของเดือนในหนึ่งปี 2) เซตของพยัญชนะในคำว่ำ “คุณธรรม” 3) เซตของจำนวนเต็ม และเรี ยกสิ่ งต่ำง ๆ ที่อยูใ่ นเซตว่ำ “สมำชิก” ( Element ) ของเซตนั้น เช่น 1) เดือนมีนำคมเป็ นสมำชิกเซตของเดือนในหนึ่งปี 2) “ร” เป็ นสมำชิกเซตของพยัญชนะในคำว่ำ “คุณธรรม” 3) 5 เป็ นสมำชิกเซตของจำนวนเต็ม

วีดิทัศน์ เรื่อง ความหมายของเซต และการเขียนชื่อเซต

1.2 วิธีการเขียนเซต กำรเขียนเซตเขียนได้ 2 แบบ 1. แบบแจกแจงสมำชิกของเซต โดยเขียนสมำชิกทุกตัวของเซตลงในเครื่ องหมำยวงเล็บปี ก กำและใช้เครื่ องหมำยจุลภำค (,) คัน่ ระหว่ำงสมำชิกแต่ละตัวนั้น ตัวอย่ำง A = {1, 2, 3, 4, 5} B = { a, e, i, o, u} C = {มกรำคม, กุมภำพันธ์, ..., ธันวำคม} 2. แบบบอกเงื่อนไขของสมำชิกในเซต โดยใช้ตวั แปรแทนสมำชิกของเซต และบอกสมบัติ ของสมำชิกในรู ปของตัวแปร ตัวอย่ำง A = { x | x เป็ นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ำน้อยกว่ำหรื อเท่ำกับ 5} B = { x | x เป็ นสระในภำษำอังกฤษ} สัญลักษณ์ | แทน C = {x | x เป็ นชื่อเดือนในหนึ่งปี } คำว่ำ “ซึ่ง”

วีดิทัศน์ เรื่อง ความหมายของเซต และการเขียนชื่อเซต

32

การเขียนชื่ อเซต โดยทัว่ ๆ ไป กำรเขียนชื่อเซตหรื อกำรเรี ยกชื่อของเซตจะใช้ตวั อักษรภำษำอังกฤษ ตัวพิมพ์ใหญ่ได้แก่ A , B , C , . . . , Y , Z ทั้งนี้เพื่อควำมสะดวกในกำรอ้ำงอิงเมื่อเขียนหรื อกล่ำวถึง เซตนั้น ๆ ต่อไป สำหรับสมำชิกในเซตจะเขียนโดยใช้อกั ษรภำษำอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก ได้แก่ a, b, c, …, y, z สัญลักษณ์  ( Epsilon) แทนควำมหมำยว่ำ “อยูใ่ น” หรื อ “ เป็ นสมำชิกของ” เช่น A = {2 , 3 , 4 , 8 , 10} 2 เป็ นสมำชิกของ A เขียนแทนด้วย 2  A 10 เป็ นสมำชิกของ A เขียนแทนด้วย 10  A ใช้สัญลักษณ์  แทนควำมหมำย “ไม่อยู่ หรื อ “ไม่เป็ นสมำชิกของ” เช่น 5 ไม่เป็ นสมำชิกของเซต A เขียนแทนด้วย 5  A 7 ไม่เป็ นสมำชิกของเซต A เขียนแทนด้วย 7  A ข้อสังเกต 1. กำรเรี ยงลำดับของแต่ละสมำชิกไม่ถือเป็ นสิ่ งสำคัญ เช่น A = { a , b , c } B = {b,c,a} ถือว่ำเซต A และเซต B เป็ นเซตเดียวกัน 2. กำรนับจำนวนสมำชิกของเซต จำนวนสมำชิกที่เหมือนกันจะนับเพียงครั้งเดียว ถึงแม้จะเขียนซ้ ำ ๆ กัน หลำย ๆ ครั้ง เช่น A = { 0 , 1 , 2 , 1 , 3 } มีจำนวนสมำชิก 4 ตัว คือ 0 , 1 , 2 , 3 เป็ นต้น 1.3 ชนิดของเซต 1.3.1 เซตว่าง ( Empty Set or Null Set ) คือ เซตที่ไม่มีสมำชิก ใช้สัญลักษณ์  (อ่ำนว่ำ phi) หรื อ { } แทนเซตว่ำง ตัวอย่ำง

A = { x | x เป็ นชื่อทะเลทรำยในประเทศไทย } ดังนั้น A เป็ นเซตว่ำง เนื่องจำกประเทศไทยไม่มีทะเลทรำย หรื อ A =  หรื อ A = { }

ข้ อสั งเกต 1. เซตว่ำงมีจำนวนสมำชิก เท่ำกับศูนย์ ( ไม่มีสมำชิกเลย ) 2. 0  Ø 3. { 0 } ไม่เป็ นเซตว่ำง เพรำะมีจำนวนสมำชิก 1 ตัว

33

1.3.2 เซตจากัด ( Finite Set ) คือ เซตที่สำมำรถระบุจำนวนสมำชิกในเซตได้ จำนวนสมำชิกของเซต A เขียนแทนด้วย n(A) ตัวอย่ำง A = { 1 , 2 , {3} } มีจำนวนสมำชิก 3 ตัว คือ 1, 2 และ {3} หรื อ n(A) = 3 B = { x | x เป็ นจำนวนเต็มและ 1 ≤ x ≤ 10 } มีจำนวนสมำชิก 10 ตัว คือ 1, 2, 3, …, 10 หรื อ n(B) = 10 C = { x | x เป็ นจำนวนเต็มที่อยูร่ ะหว่ำง 0 กับ 1 } ดังนั้น C เป็ นเซตว่ำง มีจำนวนสมำชิก 0 ตัว หรื อ n(C) = 0 D = { x | x เป็ นชื่อวันในหนึ่งสัปดำห์ } มีจำนวนสมำชิก 7 ตัว หรื อ n(E) = 7 1.3.3 เซตอนันต์ ( Infinite Set ) คือ เซตที่มีจำนวนสมำชิกไม่จำกัด นัน่ คือไม่สำมำรถบอกจำนวนสมำชิกได้ ตัวอย่ำง A = { -1 , -2 , -3 , … } B = { x | x = 2n เมื่อ n เป็ นจำนวนนับ } C = { x | x เป็ นจำนวนจริ ง } T = { x | x เป็ นจำนวนนับ } ตัวอย่าง ให้บอกว่ำเซตต่อไปนี้ เซตใดเป็ นเซตว่ำง เซตจำกัดหรื อเซตอนันต์ เซต เซตว่าง เซตจากัด 1. เซตของผูท้ ี่เรี ยนกำรศึกษำนอกโรงเรี ยน / ปี กำรศึกษำ 2552 2. เซตของจำนวนเต็มบวกคี่ 3. เซตของสระในภำษำไทย / 4. เซตของจำนวนเต็มที่หำรด้วย 10 ลงตัว 5. เซตของทะเลทรำยในประเทศไทย / /

เซตอนันต์

/ /

วีดิทัศน์ เรื่อง ชนิดของเซต

34

1.3.4 เซตทีเ่ ท่ากัน ( Equal Set ) เซตสองเซตจะเท่ำกันก็ต่อเมื่อทั้งสองเซตมีสมำชิกอย่ำง เดียวกัน และจำนวนเท่ำกัน เซต A เท่ำกับเซต B เขียนแทน ด้วย A = B A = B หมำยควำมว่ำ สมำชิกทุกตัวของเซต A เป็ นสมำชิกทุกตัวของเซต B และสมำชิก ทุกตัวของเซต B เป็ นสมำชิกทุกตัวของเซต A ถ้ำสมำชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต A ไม่เป็ นสมำชิกของเซต B หรื อสมำชิกตัวใดตัวหนึ่งของเซต B ไม่เป็ นสมำชิกของเซต A แสดงว่ำ เซต A ไม่เท่ำกับเซต B เซต A ไม่เท่ำกับเซต B เขียนแทนด้วย A ≠ B ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ A = { 2 , 4 , 6 , 8 } B = { x | x เป็ นจำนวนเต็มบวกคู่ที่นอ้ ยกว่ำ 10 } วิธีทา A = {2,4,6,8} พิจำรณำ B เป็ นจำนวนเต็มบวกคู่ที่นอ้ ยกว่ำ 10 จะได้ ดังนั้น ตัวอย่างที่ 2 ดังนั้น เพรำะ ตัวอย่างที่ 3 วิธีทา

ดังนั้น แต่

B = {2,4,6,8} A=B A = { 0 , { 1,2 } } B = { 0, 1, 2} A ≠ B A มีสมำชิก 2 ตัวคือ 0 และ {1, 2} B มีสมำชิก 3 ตัวคือ 0, 1 และ 2 กำหนดให้ A = { 2 , 3 , 5 } , B = { 5 , 2 , 3 , 5 } และ C = { x | x2 – 8x + 15 = 0 } พิจำรณำ x2 - 8x + 15 = 0 ( x – 3 ) (x – 5 ) = 0 x = 3,5 C = {3,5} A = B เพรำะ A และ B มีสมำชิก 3 ตัวคือ 2, 3, 5 เหมือนกัน A ≠ C เพรำะ 2  A แต่ 2  C B  C เพรำะ 2  B แต่ 2  C

35

1.4 สั บเซต เซต A เป็ นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อสมำชิกทุกตัวของเซต A เป็ นสมำชิกของเซต B ใช้สัญลักษณ์  แทนคำว่ำ “เป็ นสับเซตของ” ใช้สัญลักษณ์  แทนคำว่ำ “ไม่เป็ นสับเซตของ” ตัวอย่าง

A = {0, 1, 5} B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} A  B เพรำะสมำชิกทุกตัวของเซต A เป็ นสมำชิกของเซต B B  A เพรำะสมำชิกทุกตัวของเซต B ไม่เป็ นสมำชิกของเซต A ข้ อสั งเกต 1. เซตทุกเซตเป็ นสับเซตของตัวมันเอง นัน่ คือถ้ำเซต A เป็ นเซตใดๆแล้ว A  A 2. เซตว่ำงเป็ นสับเซตของทุกเซต นัน่ คือถ้ำเซต A เป็ นเซตใดๆแล้ว { }  A

วีดิทัศน์ เรื่อง การเท่ากันของเซต และการเทียบเท่ากันของเซต

1.5 เอกภพสั มพันธ์ คือ เซตที่กำหนดขึ้นโดยมีขอ้ ตกลงกันว่ำจะไม่กล่ำวถึง สิ่ งอื่นใด นอกเหนือไปจำกสมำชิกของเซตที่กำหนด ใช้สัญลักษณ์ U แทน เอกภพสัมพัทธ์ ตัวอย่ำงที่ 1 กำหนดให้ U เป็ นเซตของจำนวนจริ ง และ A = x | x2 = 4 จงเขียนเซต A แบบแจกแจงสมำชิก ตอบ A = 2, -2 ตัวอย่ำงที่ 2 กำหนดให้ U เป็ นเซตของจำนวนนับ และ A x | x2 = 4 จงเขียนเซต A แบบแจกแจงสมำชิก ตอบ A = 2 ข้ อสั งเกต ถ้ำไม่มีกำรกำหนดเอกภพสัมพัทธ์ ให้ถือว่ำเอกภพสัมพัทธ์น้ นั เป็ นเซตของจำนวนจริ ง

วีดิทัศน์ เรื่อง การเท่ากันของเซต และการเทียบเท่ากันของเซต

36

เรื่ องที่ 2 การดาเนินการของเซต

2.1 การยูเนียนของเซต ใช้สัญลักษณ์ “  ” A  B = { x | x  A  x  B } อ่ำนว่ำ A ยูเนี่ยน B เท่ำกับเชตของ x ซึ่ง x อยูใ่ น A หรื อ x อยูใ่ น B สั ญลักษณ์ แทนคาว่า “หรื อ” ตัวอย่างที่ 1

ถ้ำ A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7} จะได้ A  B = {0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7}

ตัวอย่างที่ 2

ถ้ำ W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b} จะได้ W  Z = {a , s , d , f , p , k , b}

ตัวอย่างที่ 3

ถ้ำ M = {x | x เป็ นจำนวนเต็มบวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4} จะได้ M  L = M

2.2 การอินเตอร์ เซคชัน ใช้สัญลักษณ์ “  ” A  B = { x|x A  xB } อ่ำนว่ำ A อินเตอร์เซค B เท่ำกับเซตของ x ซึ่ง x อยู่ ใน A และ x อยูใ่ น B สั ญลักษณ์ หมายถึง “และ” ตัวอย่างที่ 1 ตัวอย่างที่ 2 ตัวอย่างที่ 3

ถ้ำ A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7} จะได้ A  B = {1 , 3} ถ้ำ W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b} จะได้ W  Z = { } ถ้ำ M = {x | x เป็ นจำนวนเต็มบวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4} จะได้ M  L = L

วีดิทัศน์ เรื่อง การยูเนียนของเซต

วีดิทัศน์ เรื่อง การอินเตอร์เซคชันของเซต

37

2.3 คอมพลีเม้ นต์ ของเซต ใช้สัญลักษณ์ “ ” ถ้ำ U เป็ นเอกภพสัมพัทธ์ คอมพลีเมนต์ของ A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมำชิกที่อยูใ่ น U แต่ ไม่อยูใ่ น A เขียน A แทนคอมพลีเม้นท์ของเซต A ดังนั้น A = { x | x  A } ตัวอย่าง 1. ถ้ำ U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และ A = {0 ,2} จะได้ = {1, 3,4, 5} ตัวอย่าง 2. ถ้ำ U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เป็ นจำนวนคู่} จะได้ = { x |x  U และ x เป็ นจำนวนคี่ } /

วีดิทัศน์ เรื่อง คอมพลีเมนต์ของเซต

2.4 ผลต่ างของเซต ใช้สัญลักษณ์ “ – ” ผลต่ำงระหว่ำงเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมำชิกของเซต A ซึ่ งไม่เป็ น สมำชิกของเซต B ผลต่ำงระหว่ำงเซต A และ B เขียนแทนด้วย A – B ดังนั้น A - B = { x | x  A  x  B } จะเห็นว่า A - B ≠ B - A ตัวอย่าง 1. ถ้ำ A = {0, 1, 2, 3, 4} และ B = {3 , 4 , 5 , 6 , 7} จะได้ A - B = {0, 1, 2} และ B - A = {5 , 6 , 7} ตัวอย่าง 2. ถ้ำ U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เป็ นจำนวนคู่บวก} จะได้ U – C = {x|x เป็ นจำนวนคี่บวก}

วีดิทัศน์ เรื่อง ผลต่างของเซต

38

เรื่ องที่ 3 แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ และการแก้ปัญหา

3.1 แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ กำรเขียนแผนภำพแทนเซตช่วยให้เข้ำใจเกี่ยวกับควำมสัมพันธ์ระหว่ำงเซตชัดเจนยิง่ ขึ้น กำรเขียนแผนภำพของเวนน์-ออยเลอร์ (Venn-Euler) เพื่อแสดงควำมสัมพันธ์ระหว่ำงเซต นิยมเขียนรู ป สี่ เหลี่ยมมุมฉำกแทนเอกภพสัมพัทธ์ (U) และใช้รูปวงกลม วงรี หรื อรู ปปิ ดใด ๆ แทนเซต A, B, C,… ซึ่ง เป็ นสับเซตของ U U

แผนภาพเอกภพสัมพันธ์ U

U

A

แผนภาพแสดงเซต A เป็นสับเซตของ เองภพสัมพันธ์ U

B U

A

B U

A

แผนภาพแสดงเซต A และเซต B ซึ่งเป็นสับ

แผนภาพแสดงเซต A และเซต B ซึ่งเป็นสับ

เซตของ U โดยเซต A และเซต B ไม่มีสมาชิก

เซตของ U โดยเซต A และ เซต B มี

ซ้ากันเลย

สมาชิกบางตัวซ้ากัน U B

A

B

U

A แผนภาพแสดงเซต A และเซต B ซึ่งเป็นสับ

แผนภาพแสดงเซต A และเซต B

เซตของ U และ A B

ซึ่งป็นสับเซตของ U และ A = B

39

ตัวอย่าง A

k

ในที่น้ ี

จำกแผนภำพ U = {a, b, c, …, n} A = {a, b, c, d, e, f, g, h} B = {d, e, g, h, i, j, l} C = {f, g, h, k, l}

a d B U c e i b f g h l j m

เซต เซต เซต เซต

n C

A และ B มีสมำชิกร่ วมกันคือ {d, e, g, h} B และ C มีสมำชิกร่ วมกันคือ {g, h, l} A และ C มีสมำชิกร่ วมกันคือ {f, g, h} A, B และ C มีสมำชิกร่ วมกันคือ {g, h} วีดิทัศน์ เรื่อง แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

3.1.1 ยูเนียน (Union) ยูเนี่ยนของเซต A และ B คือเซตที่ประกอบด้วย สมำชิกของเซต A หรื อสมำชิกของเซต B หรื อทั้งสองเซต เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A  B เขียนแผนภำพเวนน์ – ออยเลอร์ แสดง A  B ได้ดงั นี้ U

B U

U A

A

B

B

A

(ส่ วนที่แรเงำคือ A  B ) 3.1.2 อินเตอร์ เซกชัน (intersection) อินเตอร์เชกชันของเซต A และ เซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมำชิกที่อยูร่ ่ วมกันทั้ง เซต A และ เซต B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A  B เขียนแผนภำพของแวนน์ – ออยเลอร์ แสดง A  B ได้ดงั นี้ U

U

U

A A

B

B (ส่ วนที่แรเงำคือ A  B )

A

B

40

3.1.3 คอมพลีเมนต์ (Complement) คอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมำชิกของเอกภพสัมพัทธ์ (U) แต่ไม่เป็ นสมำชิก ของ A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A (อ่ำนว่ำ เอไพรม์) เขียนแผนภำพของเวนน์-ออยเลอร์แสดง A ได้ ดังนี้ U A

(ส่ วนที่แรเงำ คือ A) 3.1.4 ผลต่ าง (Relative Complement or Difference) ผลต่ำงของเซต A และ เซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมำชิกที่อยูใ่ นเซต A แต่ไม่ได้อยูใ่ นเซต B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A – B ได้ดงั นี้ เขียนแผนภำพของเวนน์-ออยเลอร์แสดง A – B ได้ ดังนี้ A

U A

B

U

B

U

A

B

(ส่ วนที่แรเงำ คือ A – B)

วีดิทัศน์ เรื่อง การเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ : ยูเนียน

วีดิทัศน์ เรื่อง การเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ : อินเตอเซคชัน

วีดิทัศน์ เรื่อง การเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ : คอมพลีเมนต์

วีดิทัศน์ เรื่อง การเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ : ผลต่าง

41

3.2 การหาจานวนสมาชิกของเซตจากัด ให้พิจำรณำ สมำชิกของ U เซต A และเซต B ในภำพ U m

A

B

U = {p, q, d, m} A = {p, d}

p

d

q

B = {d, q} A  B = {d} A  B = {p, d, q} จะได้ 1) n (A) = 2 2) n (B) = 2 2) n (A  B) = 1 4) n (A  B) = 3 ถ้ำเซต A และ B ไม่มีสมำชิกร่ วมกันจะได้ n (A  B) = n (A) + n (B) ถ้ำเซต A และ B มีสมำชิกบำงตัวร่ วมกันจะได้ n (A  B) = n (A) + n (B) – n (A  B) ตัวอย่าง วิธีทา

กำหนดให้ A มีสมำชิก 15 ตัว B มีสมำชิก 12 ตัว A  B มีสมำชิก 7 ตัว จงหำจำนวนสมำชิกของ A  B n (A) = 15 , n (B) = 12 , n (A  B ) = 7 จำกสู ตร n ( A  B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A  B) = 15 + 12 – 7 = 20 ดังนั้น จำนวนสมำชิกของ A  B เท่ำกับ 20 ตัว

วีดิทัศน์ เรื่อง การหาจานวนสมาชิกของเซตจากัด

วีดิทัศน์ เรื่อง การหาจานวนสมาชิกของเซตจากัด ที่มีสับเซตในเอกภพสัมพัทธ์ 2 เซต

42

กรณี ใน U มี 3 เซต คือ เซต A เซต B และเซต C จำนวนสมำชิกใน A หรื อ B หรื อ C คือ n(A  B  C) หำได้จำกสู ตร n (A  B  C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A  B) – n (B  C) - n (A  C) + n (A  B  C)

ตัวอย่าง พิจำรณำจำกรู ป ตัวเลขในภำพแสดงจานวนสมาชิกของเซต จะได้ 1) n (U) = 60 2) n (A) = 26 3) n (B  C) = 7 4) n (A  C) = 8 5) n (A  B  C ) = 3 วีดิทัศน์ เรื่อง การหาจานวนสมาชิกของเซตจากัด ที่มีสับเซตในเอกภพสัมพัทธ์ 3 เซต

3.3 การแก้ปัญหาเกีย่ วกับจานวนสมาชิกของเซต ตัวอย่างที่ 1 บริ ษทั แห่งหนึ่ งมีพนักงำน 80 คน พบว่ำ พนักงำน 18 คนมีรถยนต์ พนักงำน 23 คน มีบำ้ นเป็ นของตัวเอง และพนักงำน 9 คน มีบำ้ นและรถยนต์ของตัวเอง จงหำ 1) จำนวนพนักงำนทั้งหมดที่มีรถยนต์หรื อมีบำ้ นเป็ นของตัวเอง 2) จำนวนพนักงำนที่ไม่มีรถยนต์หรื อบ้ำนของตัวเอง วิธีทา ให้ U แทนเซตของพนักงำนทั้งหมด A แทนเซตของพนักงำนที่มีรถยนต์ B แทนเซตของพนักงำนที่มีบำ้ นเป็ นของตัวเอง เขียนจำนวนพนักงำนที่สอดคล้องกับข้อมูลลงในแผนภำพ เวนท์ – ออยเลอร์

43

จำกแผนภำพจะได้วำ่ 1) n (A) = 18 , n (B) = 23 , n (A  B) = 9 โดยใช้สูตร n (A  B) = n(A) + n(B) - n (A  B) = 18 + 23 – 9 = 32 ดังนั้น จำวนพนักงำนที่มีรถยนต์หรื อมีบำ้ นของตัวเองเป็ น 32 คน 2) เนื่ องจำกพนักงำนทั้งหมด 80 คน นัน่ คือ พนักงำนที่ไม่มีรถยนต์หรื อบ้ำนของตัวเอง = 80 - 32 = 48 คน ตัวอย่างที่ 2 ในกำรสำรวจเกี่ยวกับควำมชอบของนักศึกษำ 100 คน พบว่ำนักศึกษำที่ชอบเรี ยน คณิ ตศำสตร์ 52 คน นักศึกษำที่ชอบเรี ยนภำษำไทย 60 คน นักศึกษำที่ไม่ชอบเรี ยน คณิ ตศำสตร์ และไม่ชอบเรี ยนภำษำไทยมี 14 คน จงหำนักศึกษำที่ชอบเรี ยนคณิ ตศำสตร์ และภำษำไทย วิธีทา เขียนแผนภำพ เวนท์ – ออยเลอร์ ให้ U แทนเซตของนักศึกษำทั้งหมด A แทนเซตของนักศึกษำที่ชอบเรี ยนคณิ ตศำสตร์ B แทนเซตของนักศึกษำที่ชอบเรี ยนภำษำไทย ให้ x แทนจำนวนนักศึกษำที่ชอบเรี ยนคณิ ตศำสตร์และภำษำไทย หรื อ n (A  B) = x ดังนั้น จำนวนนักศึกษำที่ชอบคณิ ตศำสตร์ อย่ำงเดียว หรื อ n (A) = 52 – x

จำนวนนักศึกษำที่ชอบภำษำไทยอย่ำงเดียว หรื อ n (B) = 60 – x จำกแผนภำพเขียนสมกำรได้ดงั นี้ ( 52 - x ) + x + ( 60 - x ) = 100 - 14 112 - x = 86 x = 112 - 86 = 26 ดังนั้น จำนวนนักศึกษำที่ชอบเรี ยนคณิ ตศำสตร์และภำษำไทย มี 26 คน

44

ตัวอย่างที่ 3 ในกำรสำรวจผูใ้ ช้สบู่ 3 ชนิด คือ ก , ข , ค พบว่ำมีผใู ้ ช้ชนิด ก. 113 คน, ชนิด ข. 180 คน, ชนิด ค. 190 คน, ใช้ชนิด ก . และ ข. 45 คน, ชนิด ก. และ ค. 25 คน, ชนิด ข. และ ค. 20 คน, ใช้ท้ งั 3 ชนิด 15 คน, ไม่ใช้ท้ งั 3 ชนิด 72 คน จงหำจำนวนของผูเ้ ข้ำรับกำรสำรวจทั้งหมด วิธีทา ให้ U แทนจำนวนผูส้ ำรวจทั้งหมด A แทนผูใ้ ช้สบู่ชนิด ก. B แทนผูใ้ ช้สบู่ชนิด ข. C แทนผูใ้ ช้สบู่ชนิด ค.

เขียนจำนวนผูใ้ ช้สบู่ที่สอดคล้องกับข้อมูลลงในแผนภำพตำมลำดับ คือ 1) ใส่ จำนวนผูใ้ ช้สบู่ท้ งั 3 ชนิด หรื อ n (A  B  C) = 15 2) ใส่ จำนวนผูใ้ ช้สบู่ 2 ชนิด ที่ลบด้วยจำนวนผูใ้ ช้สบู่ท้ งั 3 ชนิด หรื อ n (A  B) = 45 – 15 = 30 n (A  C) = 25 – 15 = 10 n (B  C) = 20 – 15 = 5 3) ใส่ จำนวนผูใ้ ช้สบู่ชนิดเดียว n (A) = 113 – 30 – 15 – 10 = 58 n (B) = 180 – 30 – 15 – 5 = 130 n (C) = 190 – 10 – 15 – 5 = 160 จำนวนผูท้ ี่ใช้สบู่ ก. หรื อ ข. หรื อ ค. หรื อ n(A  B  C) = 58 + 30 + 10 + 15 + 160 + 5 + 130 = 408 คน จำนวนผูท้ ี่ไม่ใช้ท้ งั 3 ชนิด = 72 คน ดังนั้น จำนวนของผูเ้ ข้ำรับกำรสำรวจทั้งหมด 408 + 72 = 480 คน

วีดิทัศน์ เรื่อง การแก้โจทย์ปัญหาจานวนสมาชิกของเซตจากัด ที่มีสับเซตในเอกภพสัมพัทธ์ 2 เซต วีดิทัศน์ เรื่อง การแก้โจทย์ปัญหาจานวนสมาชิกของเซตจากัด ที่มีสับเซตในเอกภพสัมพัทธ์ 3 เซต

45

กิจกรรมบทที่ 3 แบบฝึ กหัดที่ 1

1. จงเขียนเซตแบบแจกแจงสมำชิก 1) A เป็ นเซตชื่อของปี นักษัตร 2) M = {x | x  N และ 5 ≤ x ≤ 10} 3) P = {x | x เป็ นพยัญชนะในคำว่ำ Philippine} 2. จงเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข 1) N = {มกรำคม, มีนำคม, พฤษภำคม, กรกฎำคม, สิ งหำคม, ตุลำคม, ธันวำคม} 2) B = {2, 4, 6, 8, 10} 3) D = เป็ นเซตของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 25 และ 3 หำรลงตัว 3. กำหนดให้ U = {x | x  N และ x ≤ 15} A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} C = {3, 6, 9, 12, 15} จงหำ 1) A  B 2) A  C 3) B – C 4) B 5) (A  B)  C 6) (A  B)  - C 4. จำกกำรสอบถำมเด็กผูช้ ำย 75 คน ชอบของเล่นที่เป็ นรถสี แดง 27 คน สี ฟ้ำ 34 คน สี เขียว 42 คน ชอบทั้ง สี แดงและสี เขียว 14 คน ชอบทั้งสี ฟ้ำและสี เขียว 12 คน ชอบสี แดงและสี ฟ้ำ 10 คน ชอบทั้งสำมสี 7 คน จงหำว่ำเด็กที่ชอบของเล่นที่เป็ นรถเพียงสี เดียวมีกี่คน

ดูเฉลยกิจกรรมท้ ายเล่ม

46

บทที่ 4 การให้ เหตุผล

สาระสาคัญ 1. กำรให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็ นกำรสรุ ปผลภำยหลังจำกค้นพบควำมจริ งที่ได้จำกกำรสังเกตหรื อ กำรทดลองหลำย ๆ ครั้งจำกทุก ๆ กรณี ยอ่ ยแล้วนำบทสรุ ปมำเป็ นควำมรู ้แบบทัว่ ไปเรำเรี ยก ข้อสรุ ปแบบนี้ วำ่ “ ข้อควำมคำดกำรณ์” 2. กำรให้เหตุผลแบบนิ รนัยไม่ได้คำนึงถึงควำมจริ งหรื อควำมเท็จแต่จะคำนึงเฉพำะข้อสรุ ปที่ตอ้ ง สรุ ปออกมำได้เท่ำนั้น ผลการเรียนรู้ ทคี่ าดหวัง 1. อธิบำยและใช้กำรให้เหตุผลแบบอุปนัยและนิรนัยได้ 2. บอกได้วำ่ กำรอ้ำงเหตุผลสมเหตุสมผลหรื อไม่ โดยใช้แผนภำพเวนน์ – ออยเลอร์ได้ ขอบข่ ายเนื้อหา เรื่ องที่ 1 กำรให้เหตุผล เรื่ องที่ 2 กำรอ้ำงเหตุผลโดยใช้แผนภำพเวนน์ – ออยเลอร์

47

เรื่ องที่ 1 การให้ เหตุผล

กำรให้เหตุผลมีควำมสำคัญ เพรำะกำรดำเนินชีวิตของคนเรำไม่วำ่ จะเป็ นควำมเชื่ อ กำรโต้แย้ง และกำรตัดสิ นใจ เรำจำเป็ นต้องใช้เหตุผลประกอบทั้งสิ้ น กำรให้เหตุผล แบ่งเป็ น 2 ประเภท ได้แก่ กำรให้เหตุผลแบบอุปนัย และกำรให้เหตุผลแบบนิรนัย 1.1 การให้ เหตุผลแบบอุปนัย ( Inductive Reasoning ) กำรให้เหตุผลแบบอุปนัย หมำยถึง กำรสรุ ปที่ได้จำกกำรใช้สังเกต หรื อกำรทดลองมำแล้ว หลำยๆ ครั้ง แล้วนำบทสรุ ปมำเป็ นควำมรู ้แบบทัว่ ไป หรื อกำรให้เหตุผลแบบอุปนัย หมำยถึง กำรให้ เหตุผลโดยยึดควำมจริ งส่ วนย่อยที่พบเห็นไปสู่ ควำมจริ งส่ วนใหญ่

ตัวอย่ างการให้ เหตุผลแบบอุปนัย 1. มนุษย์สังเกตพบว่ำ : ทุก ๆวันดวงอำทิตย์ข้ ึนทำงทิศตะวันออก และตกทำงทิศตะวันตก จึงสรุ ปว่ำ : ดวงอำทิตย์ข้ ึนทำงทิศตะวันออก และตกทำงทิศตะวันตกเสมอ 2. สุ นทรี พบว่ำ ทุกครั้งที่คุณแม่ไปซื้ อก๋ วยเตี๋ยวผัดไทยจะมีตน้ กุยช่ำยมำด้วยทุกครั้ง จึงสรุ ปว่ำ ก๋ วยเตี๋ยวผัดไทยต้องมีตน้ กุยช่ำย ตัวอย่ างการให้ เหตุผลแบบอุปนัยทางคณิตูาสตร์ 1. จงใช้กำรให้เหตุผลแบบอุปนัยสรุ ปผลเกี่ยวกับผลบวกของจำนวนคู่สองจำนวน 0+2 = 2 (จำนวนคู่) 2+4 = 6 (จำนวนคู่) 4+6 = 10 (จำนวนคู่) 6+8 = 14 (จำนวนคู่) 8+10 = 18 (จำนวนคู่) สรุ ปผลว่ำ ผลบวกของจำนวนคู่สองจำนวนเป็ นจำนวนคู่

48

2.

3.

11  11 = 111  111 = 1111  1111 = 11111  11111 = (1  9) + 2 = (12  9) + 3 = (123  9) + 4 = (1234  9) + 5 =

121 12321 1234321 123454321 11 111 1111 11111

ข้อสังเกต 1) ข้อสรุ ปของกำรให้เหตุผลแบบอุปนัยอำจจะไม่จริ งเสมอไป 2) กำรสรุ ปผลของกำรให้เหตุผลแบบอุปนัยอำจขึ้นอยูก่ บั ประสบกำรณ์ของผูส้ รุ ป 3) ข้อสรุ ปที่ได้จำกกำรให้เหตุผลแบบอุปนัยไม่จำเป็ นต้องเหมือนกัน ตัวอย่ำง 1. กำหนด จำนวน 2, 4, 6 , a จงหำ จำนวน a จะได้ a = 8 2. กำหนด จำนวน 2, 4, 6 , a จงหำ จำนวน a จะได้ a = 10 เพรำะว่ำ 4 + 6 = 10 3. กำหนด จำนวน 2, 4, 6, a จงหำ จำนวน a จะได้ a = 22 เพรำะว่ำ 6 = (2  4) -2 และ 22 = (4  6) -2 4) ข้อสรุ ปของกำรให้เหตุผลแบบอุปนัยอำจ ผิดพลำดได้ ตัวอย่ำง ให้ f(n) = n2 - 79n + 1601 ทดลองแทนค่ำจำนวนนับ n ใน f(n) n = 1 ได้ f(1) = 1523 เป็ นจำนวนเฉพำะ n = 2 ได้ f(2) = 1447 เป็ นจำนวนเฉพำะ n = 3 ได้ f(3) = 1373 เป็ นจำนวนเฉพำะ  f(n) = n2 - 79n + 1601

49

แทนค่ำ n ไปเรื่ อยๆ จนกระทัง่ แทน n = 79 ได้ f(79) เป็ นจำนวนเฉพำะ จำกกำรทดลองดังกล่ำว อำจสรุ ปได้วำ่ n2 - 79n + 1601 เป็ นจำนวนเฉพำะ สำหรับทุกจำนวนนับ แต่ f(n) = n2 - 79n + 1601 f(80) = 802 - (79)(80) + 1601 = 1681 = (41)(41)  f(80) ไม่เป็ นจำนวนเฉพำะ 1.2. การให้ เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive reasoning) เป็ น กำรนำควำมรู ้ ข้อตกลง กฏ หรื อบทนิยำมที่ยอมรับว่ำเป็ นจริ ง เพื่อหำเหตุผลนำไปสู่ ข้อสรุ ป กำรให้เหตุผลแบบนิ รนัย ไม่ได้คำนึงถึง ควำมจริ งหรื อควำมเท็จ แต่จะคำนึงถึง เฉพำะข้อสรุ ปที่ ต้องออกมำได้เท่ำนั้น พิจำรณำกระบวนกำรกำรให้เหตุผลแบบนิ รนัย จำกแผนภำพดังนี้

50

ตัวอย่ำงกำรให้เหตุผลแบบนิ รนัย 1. เหตุ 1) จำนวนคู่หมำยถึงจำนวนที่หำรด้วย 2 ลงตัว 2) 10 หำรด้วย2 ลงตัว ผล 10 เป็ นจำนวนคู่ 2. เหตุ 1) คนที่ไม่มีหนี้สินและมีเงินฝำกในธนำคำรมำกกว่ำ 10 ล้ำนบำท เป็ นเศรษฐี 2) คุณมำนะไม่มีหนี้ สินและมีเงินฝำกในธนำคำร 11 ล้ำนบำท ผล คุณมำนะเป็ นเศรษฐี 3. เหตุ 1) นักกีฬำกลำงแจ้งทุกคนจะต้องมีสุขภำพดี 2) เกียรติศกั ดิ์เป็ นนักฟุตบอลทีมชำติไทย ผล เกียรติศกั ดิ์มีสุขภำพดี จำกตัวอย่ำงจะเห็นว่ำกำรยอมรับควำมจริ งบำงอย่ำงก่อน แล้วจึงหำข้อสรุ ปจำกสิ่ งที่ยอมรับแล้วนั้น ซึ่ งเรี ยกว่ำ ผล กำรสรุ ปผลจะถูกต้องก็ต่อเมื่อเป็ นกำรสรุ ปผลได้อย่ำงสมเหตุสมผล(valid) เช่น เหตุ 1) เรื อทุกลำลอยน้ ำ 2) ถังน้ ำพลำสติกลอยน้ ำได้ ผล ถังน้ ำพลำสติกเป็ นเรื อ กำรสรุ ปผลจำกข้ำงต้นไม่สมเหตุสมผล แม้วำ่ ข้ออ้ำงหรื อเหตุท้ งั สองข้อจะเป็ นจริ ง แต่กำรที่เรำ ทรำบ ว่ำ เรื อทุกลำลอยน้ ำได้ก็ไม่ได้หมำยควำมว่ำสิ่ งอื่นๆ ที่ลอยน้ ำได้จะต้องเป็ นเรื อเสมอไป ข้อสรุ ปใน ตัวอย่ำงข้ำงต้นจึงเป็ นกำรสรุ ปที่ไม่สมเหตุสมผล ข้อสังเกต 1. เหตุเป็ นจริ ง และ ผลเป็ นจริ ง เหตุ ปลำทุกตัวมีเหงือก สัตว์มีเหงือกทุกตัวเป็ นสัตว์น้ ำ ผล ดังนั้น ปลำเป็ นสัตว์น้ ำ 2. เหตุเป็ นเท็จ และ ผลเป็ นเท็จ เหตุ ช้ำงออกลูกเป็ นไข่ สัตว์ออกลูกเป็ นไข่เป็ นสัตว์น้ ำ ผล ช้ำงเป็ นสัตว์น้ ำ 3. เหตุอำจเป็ นจริ งและผลอำจเป็ นเท็จ 4. ผลสรุ ปสมเหตุสมผลไม่ได้ประกันว่ำข้อสรุ ปจะต้องเป็ นจริ งเสมอไป วีดิทัศน์ เรื่อง การให้เหตุผลแบบอุปนัย และ นิรนัย

51

เรื่ องที่ 2 การอ้างเหตุผลโดยใช้ แผนภาพของเวนน์ - ออยเลอร์

ออยเลอร์ เป็ นนักคณิ ตศำสตร์ ชำวสวิสเซอร์ แลนด์ มีชีวิตอยูร่ ะหว่ำง ค.ศ. 1707 - 1783 เขำได้คน้ พบ วิธีกำรตรวจสอบควำมสมเหตุสมผลโดยใช้รูปปิ ด เช่น วงกลม ซึ่ งเป็ นวิธีกำรที่ง่ำย และรวดเร็ ว แผนภำพเวนน์ – ออยเลอร์ ที่ใช้ในกำรให้เหตุผลมี 6 แบบ ดังนี้ แบบที่ เหตุและผล แผนภำพเวนน์ – ออยเลอร์ 1

สมำชิกของ A ทุกตัวเป็ นสมำชิกของ B

B

เช่น A แทนเซตของคนไทย

A

B แทนเซตของคนกลุ่มอำเซี ยน 2

ไม่มีสมำชิกของ A ใดๆ เป็ นสมำชิกของ B เช่น A แทนเซตของคนไทย B แทนเซตของคนยุโรป

3

A

B

มีสมำชิกของ A บำงส่ วน เป็ นสมำชิกของ B เช่น A แทนเซตของคนไทย

B

A

B แทนเซตของคนนับถือศำสนำพุทธ 4

มีสมำชิกของ A บำงส่ วน ไม่เป็ นสมำชิกของ B เช่น A แทนเซตของคนชอบเล่นกีฬำ

A

B

A

B

B แทนเซตของคนอ้วน 5

มีสมำชิกของ A หนึ่งสมำชิก ที่เป็ นสมำชิกของ B เช่น A แทนเซตของจำนวนคู่

a

B แทนเซตของจำนวนเฉพะ a =2 6

มีสมำชิกของ B บำงตัว ที่เป็ นสมำชิกของ A และ

A

a เป็ นสมำชิกของ A เช่น B แทนเซตของคนไทย A แทนเซตของคนนับถือศำสนำพุทธ a หมิวนับถือศำสนำพุทธ

A

a a

B

B

52

ตัวอย่ำง กำรตรวจสอบควำมสมเหตุสมผลของกำรให้เหตุผลโดยใช้แผนภำพ 1. เหตุ 1 : คนทุกคนเป็ นสิ่ งที่มีสองขำ 2 : ตำรวจทุกคนเป็ นคน ผลสรุ ป ตำรวจทุกคนเป็ นสิ่ งที่มีสองขำ จำกเหตุ 1 จำกเหตุ 2

แผนภำพรวม

จำกแผนภำพจะเห็นว่ำ วงของ " ตำรวจ " อยูใ่ นวงของ " สิ่ งมี 2 ขำ " แสดงว่ำ " ตำรวจทุกคนเป็ นคน มีสองขำ " ซึ่ งสอดคล้องกับผลสรุ ปที่กำหนดให้ ดังนั้น กำรให้เหตุผลนี้สมเหตุสมผล 2. เหตุ 1 : สุ นขั บำงตัวมีขนยำว 2 : มอมเป็ นสุ นขั ของฉัน ผลสรุ ป มอมเป็ นสุ นขั ที่มีขนยำว

ดังนั้น ผลสรุ ปที่วำ่ มอมเป็ นสุ นขั ที่มีขนยำว ไม่สมเหตุสมผล

วีดิทัศน์ เรื่อง การอ้างเหตุผลโดยใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

53

บทที่ 5 อัตราส่ วนตรีโกณมิติและการนาไปใช้

สาระสาคัญ 1. ถ้ำรู ปสำมเหลี่ยมคู่ใดคล้ำยกัน อัตรำส่ วนของด้ำนที่อยูต่ รงข้ำมมุมที่เท่ำกันจะเท่ำกัน 2. ในรู ปสำมเหลี่ยมมุมฉำกทุกรู ป อัตรำส่ วนควำมยำวด้ำน 2 ด้ำน จะถูกกำหนดค่ำต่ำงๆไว้ดงั นี้ 2.1 ค่ำไซน์ของมุมใด (sine) จะเท่ำกับอัตรำส่ วนระหว่ำงควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุมกับ ควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุมฉำก 2.2 ค่ำโคไซน์ของมุมใด (cosine) จะเท่ำกับอัตรำส่ วนระหว่ำงควำมยำวด้ำนประชิตมุมกับ ควำมยำวด้ำนตรงข้ำมมุมฉำก 2.3 ค่ำแทนเจนต์ของมุมใด (tangent) จะเท่ำกับ อัตรำส่ วนระหว่ำงควำมยำวของด้ำนตรง ข้ำมมุมกับควำมยำวของด้ำนประชิตมุมนั้นๆ 3. นอกจำกอัตรำส่ วนตรี โกณมิติหลัก 3 ค่ำนี้แล้ว ส่ วนกลับของ sine, cosine และ tangent เรี ยกว่ำ cosecant, secant และ cotangent ตำมลำดับ 4. อัตรำส่ วนตรี โกณมิติของมุม 30, 45 และ 60 องศำ มีค่ำเฉพำะของแต่ละอัตรำส่ วน 5. กำรแก้ปัญหำโจทย์ที่เกี่ยวข้อง โดยเฉพำะกำรนำไปใช้แก้ปัญหำเกี่ยวกับกำรวัดระยะทำงและ ควำมสู งจะใช้อตั รำส่ วนตรี โกณมิติในกำรช่วยหำคำตอบ ผลการเรียนรู้ ทคี่ าดหวัง 1. อธิ บำยกำรหำค่ำอัตรำส่ วนตรี โกณมิติได้ 2. หำค่ำอัตรำส่ วนตรี โกณมิติของมุม 30 0 , 60 0 และ 45 0 ได้ 3. นำอัตรำส่ วนตรี โกณมิติไปใช้แก้ปัญหำเกี่ยวกับระยะทำง ควำมสู ง และกำรวัดได้ ขอบข่ ายเนื้อหา เรื่ องที่ 1 อัตรำส่ วนตรี โกณมิติ เรื่ องที่ 2 อัตรำส่ วนตรี โกณมิติของมุม 30, 60 และ 45 องศำ เรื่ องที่ 3 กำรนำอัตรำส่ วนตรี โกณมิติ ไปใช้แก้ปัญหำเกี่ยวกับระยะทำง ควำมสู ง และกำรวัด

54

เรื่ องที่ 1 อัตราส่ วนตรีโกณมิติ อัต รำส่ ว นตรี โ กณมิ ติ เ ป็ นเรื่ องของกำรหำควำมสั ม พัน ธ์ ร ะหว่ ำ งด้ำ น มุ ม และพื้ น ที่ ข องรู ป สำมเหลี่ยม มีควำมสำคัญต่อวิชำดำรำศำสตร์ กำรเดินเรื อ และงำนสำรวจใช้ในกำรคำนวณส่ วนสู งของภูเขำ และหำควำมกว้ำงของแม่ น้ ำ มี ประโยชน์มำกสำหรั บวิช ำวิทยำศำสตร์ วิศวกรรมศำสตร์ และกำรศึกษำ เกี่ยวกับวัตถุ ซึ่ งมีสภำพเป็ นคลื่น เช่น แสง เสี ยง แม่เหล็กไฟฟ้ำและวิทยุ 1.1 ความรู้ เดิมทีต่ ้ องนามาใช้ ในบทเรียนนี้ 1) สมบัติสำมเหลี่ยมคล้ำย พิจำรณำรู ปสำมเหลี่ยมสองรู ปที่มีขนำดของมุมเท่ำกัน 3 คู่ ดังนี้ ถ้ำรู ปสำมเหลี่ยม 2 รู ป มีมุมเท่ำกันมุมต่อมุมทั้ง 3 คู่ แล้ว สำมเหลี่ยม 2 รู ปนี้จะคล้ำยกัน ดังรู ป B

รู ปที่ 1

c

รู ปที่ 2

a

Y z x

A

b

X

C

Z

y

Bˆ = Yˆ Cˆ = Zˆ จำกรู ปกำหนด Aˆ = Xˆ , , ดังนั้น รู ปสำมเห ลี่ยม ABC คล้ำยกับรู ปสำมเหลี่ยม XYZ และจำกสมบัติกำรคล้ำยกันของ รู ป สำมเหลี่ยมจะได้ผลตำมมำคือ

AB BC AC   XY YZ XZ

หรื อ

a x



b c  y z

เมื่อ a, b, c เป็ นควำมยำวของด้ำน BC, AC และ AB ตำมลำดับในสำมเหลี่ยม ABC x, y, z เป็ นควำมยำวของด้ำน YZ, XZ และ XY ตำมลำดับในสำมเหลี่ยม XYZ จำก

a b  x y b c  y z a c  x z

หรื อจะได้วำ่ หรื อจะได้วำ่ หรื อจะได้วำ่

a  b b  c a  c

x y y z x z

วีดิทัศน์ เรื่อง สมบัติสามเหลี่ยมคล้าย

55

2) สมบัติสำมเหลี่ยมมุมฉำก ถ้ำให้ ABC เป็ นรู ปสำมเหลี่ยมมุมฉำก ที่มี C เป็ นมุมฉำก c a

b

ด้ำนที่อยูต่ รงข้ำมมุมฉำกหรื อมุม C ยำว c หน่วย ด้ำนที่อยูต่ รงข้ำมมุม A ยำว a หน่วย ด้ำนที่อยูต่ รงข้ำมมุม B ยำว b หน่วย จะได้ควำมสัมพันธ์ระหว่ำงควำมยำวของด้ำนทั้งสำมของรู ปสำมเหลี่ยมมุมฉำกดังนี้

ให้

c2  a2  b2

เมื่อ c แทนควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุมฉำก คือมุม C a และ b แทนควำมยำวของด้ำนประกอบมุมฉำก คือมุม A และมุม B ตัวอย่าง 1) จงหำควำมยำว a จำกรู ปสำมเหลี่ยมมุมฉำกที่กำหนดให้ a

52 a2 + 9 a2 ดังนั้น a

3 5

= = = =

a2 + 3 2 25 16 4

2) จงหำควำมยำว m จำกรู ปสำมเหลี่ยมมุมฉำกที่กำหนดให้ 5

12 m

m2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 ดังนั้น m = 13

56

ทฤษฎีบทปี ทาโกรัส ปี ทำโกรัสได้ศึกษำค้นคว้ำเกี่ยวกับควำมสัมพันธ์ระหว่ำงด้ำนตรงข้ำมมุมฉำกและด้ำนประกอบมุม ฉำกของสำมเหลี่ยมมุมฉำก ซึ่ งมีใจควำมว่ำ ในสำมเหลี่ยมมุมฉำกใดๆ พื้นที่ของสี่ เหลี่ยมจัตุรัสบนด้ำนตรงข้ำมมุมฉำก จะเท่ำกับผลบวกของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้ำนประกอบมุมฉำก

1.2 อัตราส่ วนตรีโกณมิติ อัตรำส่ วนตรี โกณมิติ เป็ นเรื่ องเกี่ยวกับอัตรำส่ วนของควำมยำวของด้ำนของรู ปสำมเหลี่ยมมุมฉำก ดังนี้ 1. ไซน์ (sine) ของมุมใดๆ เท่ำกับอัตรำส่ วนของควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุม ต่อควำมยำวของด้ำน ตรงข้ำมมุมฉำก (sine A เรี ยกย่อว่ำ sin A) 2. โคไซน์ (cosine) ของมุมใดๆเท่ำกับอัตรำส่ วนของควำมยำวของด้ำนประชิดมุม ต่อควำมยำวของ ด้ำนตรงข้ำมมุมฉำก (cosine A เรี ยกย่อว่ำ cos A) 3. แทนเจนต์ (tangent) ของมุมใดๆ เท่ำกับอัตรำส่ วนของควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุม ต่อควำมยำว ของด้ำนประชิดมุม (tangent A เรี ยกย่อว่ำ tan A) กำหนดรู ปสำมเหลี่ยม ABC มี C เป็ นมุมฉำก B c

a

A A

b

C

57

อัตรำส่ วนตรี โกณมิติของมุม A ควำมยำวของ ด้ำนตรงข้ำ มมุม A sin A = = ควำมยำวของ ด้ำนตรงข้ำ มมุมฉำก ควำมยำวของ ด้ำนประชิด มุม A cos A = ควำมยำวของ ด้ำนตรงข้ำ มมุมฉำก = ควำมยำวของ ด้ำนตรงข้ำ มมุม A tan A = = ควำมยำวของ ด้ำนประชิด มุม A ส่ วนกลับของอัตรำส่ วนตรี โกณมิติมีชื่อเรี ยก ดังนี้ ควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุมฉำก

cosec A = ควำมยำวของด้ำนประชิดมุม A = ควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุมฉำก

sec A = ควำมยำวของด้ำนประชิดมุม A = ควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุม A

cot A = ควำมยำวของด้ำนประชิ ดมุม A =

a c b c

a b

c a c b

b a

ตัวอย่าง กำหนดรู ปสำมเหลี่ยมมุมฉำก ABC มีมุม C เป็ นมุมฉำก มีควำมยำวด้ำนทั้งสำม ดังรู ป B จงหำค่ำต่อไปนี้ 1. sin A, cos A และ tan A 6 หน่วย 2. sin B, cos B และ tan B A

8 หน่วย

C

วิธีทำ กำหนด ABC เป็ นรู ปสำมเหลี่ยมมุมฉำก มีมุม C เป็ นมุมฉำก จำกทฤษฎีบทปี ทำโกรัส จะได้วำ่ AB2 = AC2 + BC2 AC = 8 , BC = 6 แทนค่ำ ดังนั้น AB2 = 82 + 62

นัน่ คือ

= = = AB =

64 + 36 100 10 × 10 หรื อ 102 10

58

(1) หำค่ำ sin A, cos A และ tan A โดยกำรพิจำรณำที่มุม A

sin A 

cosA 

tan A 

ควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุม A ควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุมฉำก ควำมยำวของด้ำนประชิ ดมุม A ควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุมฉำก

ควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุม A ควำมยำวของด้ำนประชิ ดมุม A





BC





3

AB

10

5

AC

8

4



AB



6

BC



10



AC

6

5



8

3 4

(2) หำค่ำ sin B, cos B และ tan B โดยกำรพิจำรณำที่มุม B

sin B 

cos B 

tan B 

ควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุม B ควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุมฉำก

ควำมยำวของด้ำนประชิ ดมุม B ควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุมฉำก ควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุม B ควำมยำวของด้ำนประชิ ดมุม B



AC

8



AB





BC



10

6



4 5



3

AB

10

5

AC

8

4

BC



6



3

วีดิทัศน์ เรื่อง อัตราส่วนตรีโกณมิติ

59

เรื่ องที่ 2 การหาค่ าอัตราส่ วนตรีโกณมิติของมุม 30, 45 และ 60 องูา

2.1 กำรหำค่ำอัตรำส่ วนตรี โกณมิติของมุม 30 และ 60 องศำ

พิจำรณำรู ปสำมเหลี่ยมด้ำนเท่ำ ABD มีดำ้ นยำวด้ำนละ 2 หน่วย ดังนี้ B

A

300 300

300

2

2

2

60

60

B

1

1

C

60 A

D

1

C

จำกรู ปสำมเหลี่ยมด้ำนเท่ำ ABD ลำก AC แบ่งครึ่ ง มุม A เส้นแบ่งครึ่ งมุม A จะตั้งฉำกกับ BD ที่จุด C โดยใช้หลักของสมบัติของสำมเหลี่ยมคล้ำย ABC และ ADC จะได้ BC = CD = 1 หน่วย ดังรู ป จำกสำมเหลี่ยมมุมฉำก ABC ใช้คุณสมบัติของทฤษฎีปีทำโกรัสได้ดงั นี้ B 300

2

60 A

C

1

AB2 = AC2 + BC2 22 = 12 + BC2 4 = 1 + BC2 BC2 = 4 – 1 =3  BC = 3

อัตรำส่ วนตรี โกณมิติของมุม 60๐ พิจำรณำที่มุม A จะได้ดงั นี้ B

sin 60๐ = cos 60๐ =

2

tan 60๐ = 60 A

C 1

3 2 1 2

3 1

;

=

3

cosec 60๐ =

;

sec 60๐ = 2

;

cot 60๐ =

2 3

1 3

60

อัตรำส่ วนตรี โกณมิติของมุม 30๐ พิจำรณำที่มุม B จะได้ดงั นี้ sin 30๐ =

1 2

;

cos 30๐ =

3 2 1

;

tan 30๐ =

cosec 30๐ = 2 sec 30๐ =

2 3

cot 30๐ =

;

3

3

2.2 กำรหำค่ำอัตรำส่ วนตรี โกณมิติของมุม 45 องศำ B 45 ๐

1 45

๐

C 1 พิจำรณำรู ปสำมเหลี่ยมมุมฉำก ABC มีมุม C เป็ นมุมฉำก และมีมุม A = มุม B = 45๐ จะได้วำ่ AC  BC = 1 หน่วย จำกรู ปสำมเหลี่ยมมุมฉำก ABC ใช้คุณสมบัติของทฤษฎีปีทำโกรัสได้ดงั นี้ AB2 = AC2 + BC2 AB2 = 12 + 12 =2  AB = 2 A

อัตรำส่ วนตรี โกณมิติของมุม 45๐ จะได้ดงั นี้ 45

1

sin 45๐ =

1

cos 45๐ =

1

2

2

tan 45๐ = 1

30 1

2 2 2 หรื อ 2

หรื อ

;

cosec 45๐ =

2

;

sec 45๐ =

2

;

cot 45๐ = 1

61

ตัวอย่าง 1 จงหำค่ำต่อไปนี้ 1) sin 30๐ sin 60๐ + cos 30๐ cos 60๐ 2) (cos 30๐)2 + (sin 30๐)2 3) tan2 30๐ + 2sin 60๐ + tan 45๐ – tan 60๐ + cos2 30๐ 4) cos 60๐ – tan2 45๐ + 4 tan2 30๐ + cos2 30๐ – sin 30๐ 3

5)

sin 45



 tan 45 

cos 45 

วิธีทำ 1) sin 30๐ sin 60๐ + cos 30๐ cos 60๐ =

3 3 2 3 3  1   3   3   1            4 4 4 2  2  2   2  2 

2

2) (cos 30 ) + (sin 30 ) ๐2

๐2

 3   1 2 3 1 4        1 =   4 4 4  2  2

3) tan 30 + 2sin 60 + tan 45 – tan 60 + cos 30 = ๐

2

๐

๐

๐

2

๐

= =

   3  1   1 3   3    2   2   2   3     3 1  3 1 3  4 3 25 12 2

4) cos 60 – tan 45 + tan 30 + cos 30 – sin 30 = ๐

2

๐

4 3

2

๐

2

๐

๐

= = 5)

sin 45



cos 45



 tan 45 

=

2

2

1 4  1   3  1    (1) 2    2 3  3   2  2 4 3 1 1 1    9 4 2 2 7 36 2

1 2 1  1  2 1  1 1  0 1 2 1 2

ตัวอย่าง 2 จงหำค่ำของ a และ b จำกรู ปสำมเหลี่ยมที่กำหนดให้ต่อไปนี้ BC B วิธีทำ sin 30๐  AB แทนค่ำ sin 30๐ = 1 ; BC = a และ AB = 10 10 a 2 1= a 2 10 30๐ C A a  10 1 b 2 =5

62

AC AB 3 แทนค่ำ cos 30๐ = ; AC = b และ AB = 10 2 3 b = 2 10 b  10 3 2 =5 3 cos 30๐ =

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดรู ปสำมเหลี่ยมมุมฉำก ABC มีมุม C เป็ นมุมฉำก และ sec A = (1) cos A วิธีทา

(2) tan A

(3) cosec A

จงหำ

(5) cot B

และ (6) sec B

B

กำหนด sec A =

5 3

ควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุมฉำก

เนื่องจำก sec A = ควำมยำวของด้ำนประชิดมุม A จำกรู ป AB = 5 และ AC = 3 และ จะได้ BC2 + AC2 BC2 + 32 C 3 BC2 BC จะได้ค่ำอัตรำส่ วนตรี โกณมิติดงั นี้ 5

A

(4) sin B

5 3

(1) cos A

=

(2) tan A

=

(3) cosec A

=

(4) sin B

=

(5) cot B

=

(6) sec B

=

B

3 5 4 3

1 sin A 3 5 4 3 5 4

= AB2 = 52 = 25 – 9 = 16 =4

5

=

5 4 A

3

4

C

วีดิทัศน์ เรื่อง การหาอัตราส่วนตรีโกณมิติ ของมุม 30° 60° และ 45°

63

เรื่ องที่ 3 การนาอัตราส่ วนตรีโกณมิติไปใช้ แก้ปัญหาเกีย่ วกับการวัดระยะทางและความสู ง

อัตรำส่ วนตรี โกณมิติมีประโยชน์มำกในกำรหำควำมยำว ระยะทำงหรื อส่ วนสู งโดยที่ทรำบค่ำมุมใด มุมหนึ่ง และควำมยำวของด้ำนใดด้ำนหนึ่งของรู ปสำมเหลี่ยมมุมฉำก แล้วจะสำมำรถหำด้ำนที่เหลือได้ คาทีเ่ กีย่ วข้ องกับการนาอัตราส่ วนตรีโกณมิติไปใช้ เส้ นระดับสายตา คือ เส้นที่ขนำนกับแนวพื้นรำบ มุมก้ ม คือ มุมที่แขนข้ำงหนึ่งของมุม อยูต่ ่ำกว่ำระดับสำยตำ

มุมเงย คือ มุมที่แขนข้ำงหนึ่งอยูส่ ู งกว่ำเส้นระดับสำยตำ

ตัวอย่างที่ 1 สมพรยืนอยูห่ ่ำงจำกบ้ำนหลังหนึ่งเป็ นระยะทำง 90 เมตร เขำเห็นเครื่ องบิน เครื่ องหนึ่ง บินอยูเ่ หนือหลังคำบ้ำนพอดี และแนวที่เขำมองเป็ นมุมเงย 30 องศำ จงหำว่ำเครื่ องบิน อยูส่ ู งจำกพื้นดินกี่เมตร

30๐ 90 m

ควำมยำวของด้ำนตรงข้ำ มมุม 30 ควำมยำวของด้ำนประชิด มุม 30 ควำมยำวของด้ำนตรงข้ำ มมุม 30 1 = 3 90 90 90 3 90 3     30 3 ควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุม 30๐ = 3 3 3 3 ดังนั้น ควำมสู งของเครื่ องบินอยูห่ ่ำงจำกพื้นดิน 30 3 เมตร วิธีทำ

tan 30 =

วีดิทัศน์ เรื่อง ตัวอย่างการแก้โจทย์ปัญหา (1)

64

ตัวอย่างที่ 2 บันไดยำว 50 ฟุต พำดอยูก่ บั กำแพง ปลำยบันไดถึงขอบกำแพงพอดี ถ้ำบันไดทำมุม 60 0 กับ กำแพง จงหำว่ำระยะทำงระหว่ำงเชิงบันไดกับกำแพงยำวกี่ฟุต

60๐

=

ควำมยำวของด้ำนตรงข้ำ มมุม 60 ควำมยำวของด้ำนตรงข้ำ มมุมฉำก

=

ควำมยำวของด้ำนตรงข้ำ มมุม 60 50



วิธีทำ

sin 60

3 2

0

ควำมยำวของด้ำนประชิดมุม 60  50

2

3

ดังนั้น ระยะระหว่ำงบันไดกับกำแพงเท่ำกับ

=



25 3

25 3

ฟุต

วีดิทัศน์ เรื่อง ตัวอย่างการแก้โจทย์ปัญหา (2)

65

ตัวอย่างที่ 3 สมพรยืนอยูบ่ นหน้ำผำแห่งหนึ่ง ซึ่ งสู งจำกระดับน้ ำทะเล 50 เมตร เขำมองไปยังเรื อลำหนึ่งกลำง ทะเล เป็ นมุมก้ม 30 องศำ เรื อลำนี้อยูห่ ่ำงจำกฝั่งโดยประมำณกี่เมตร วิธีทำ

ให้ A เป็ นตำแหน่งที่สมพรยืนอยู่ AC แทนควำมสู งของหน้ำผำจำกน้ ำทะเล คือ 50 เมตร BC เป็ นระยะที่เรื ออยูห่ ่ำงจำกฝั่ง เนื่องจำก AD // BC จะได้ CBˆ A  DAˆ B  300 ABC เป็ นรู ปสำมเหลี่ยมมุมฉำก AC tan300  จะได้วำ่ BC 1 50  3 BC BC  50 3  50  1.732

BC  86.6

ดังนั้น เรื ออยูห่ ่ำงจำกฝั่งประมำณ 87 เมตร

วีดิทัศน์ เรื่อง ตัวอย่างการแก้โจทย์ปัญหา (3)

66

กิจกรรมบทที่ 5 แบบฝึ กหัดที่ 1

1. จงหำว่ำอัตรำส่ วนตรี โกณมิติที่กำหนดให้ต่อไปนี้ เป็ นค่ำไซน์ (sin) หรื อโคไซน์ (cos) หรื อแทนเจนต์ (tan) ของมุมที่กำหนดให้ C b 1) ………………. A = c a b b 2) ………………. A = a B A a c 3) ………………. B = c b 4) ………………. B = c 2. จงหำค่ำ a และ b จำกรู ปที่กำหนดให้

3. จงหำค่ำของ 1) sin 30 – cos 30 + sin 60 – cos 60 + tan 45

3)

2) tan2 45– sin 30  cosec260 4)

sin 2 60   cos 2 60  2cos 2 30   tan 2 45 sec 60 

sin30   cosec 2 30   cos60  sec 2 60  tan 2 45  sin 30  4. มำนะยืนห่ำงจำกตึก 20 เมตร มองเห็นยอดตึกเป็ นมุมเงย 45 และเห็นเสำอำกำศที่ต้ งั อยูบ่ นยอดตึกเป็ นมุมเงย 60 จงหำว่ำเสำอำกำศสู งจำกตึกเท่ำไร (กำหนด 3 = 1.73)

D

C

60

A

45

B

67

บทที่ 6 การใช้ เครื่ องมือและการออกแบบผลิตภัณฑ์

สาระสาคัญ 1. กำรเลือกใช้เครื่ องมือต่ำงๆ ในกำรสร้ำงรู ปเรขำคณิ ต 2. กำรออกแบบวัสดุหรื อครุ ภณั ฑ์ อำคำรที่พกั อำศัย หรื ออำคำรสำนักงำนต่ำงๆ ในชีวิตประจำวันจะ เกี่ยวข้องกับรู ปแบบ กำรเลื่อนขนำน กำรหมุน และกำรสะท้อน 3. กำรออกแบบบรรจุภณ ั ฑ์สินค้ำที่ดี สวยงำม น่ำสนใจ จะช่วยในกำรกำรเพิ่มมูลค่ำของสิ นค้ำนั้นๆ ได้ ผลการเรียนรู้ ทคี่ าดหวัง 1. สร้ำงรู ปเรขำคณิ ตโดยใช้เครื่ องมือได้ 2. อธิ บำยควำมสัมพันธ์ระหว่ำงรู ปต้นแบบ และรู ปที่ได้จำกกำรเลื่อนขนำน กำรสะท้อนและกำรหมุนได้ 3. นำสมบัติเกี่ยวกับกำรเลื่อนขนำน กำรหมุน และกำรสะท้อน จำกกำรแปลงทำงคณิ ตศำสตร์ และทำง เรขำคณิ ต ไปใช้ในกำรออกแบบ งำนศิลปะได้ ขอบข่ ายเนื้อหา เรื่ องที่ 1 กำรสร้ำงรู ปทำงเรขำคณิ ตโดยใช้เครื่ องมือ เรื่ องที่ 2 กำรแปลงทำงเรขำคณิ ต 2.1 กำรเลื่อนขนำน (Translation) 2.2 กำรหมุน (Rotation) 2.3 กำรสะท้อน (Reflection)

68

เรื่ องที่ 1 การสร้ างรู ปเรขาคณิตโดยใช้ เครื่ องมือ

1.1 รู ปเรขาคณิตสองมิติ สำมำรถสร้ำงได้โดยใช้สันตรง เช่น ไม้บรรทัด ฟุตเหล็ก ไม้ฉำก ไม้ที เพื่อวัดควำมยำว ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ เพื่อวัดมุม หรื อขนำดของมุม ใช้วงเวียน เพื่อประกอบกำร สร้ำงเส้นโค้งที่แทนควำมยำวรอบวงกลม หรื อช่วยในกำรสร้ำงมุมที่มีขนำดที่ตอ้ งกำร สมบัติต่าง ๆ ของรู ปเรขาคณิตและความสั มพันธ์ ระหว่ างรู ปเรขาคณิต 1. รู ปสี่ เหลีย่ มผืนผ้ า D

B C 1) มีมุมทั้งสี่ เป็ นมุมฉำก 2) ด้ำนที่อยูต่ รงข้ำมกันยำวเท่ำกันและขนำนกันสองคู่ 3) เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่ งกันและกัน 4) พื้นที่ของสี่ เหลี่ยมผืนผ้ำ = ควำมยำวของด้ำนกว้ำง x ควำมยำวของด้ำนยำว 5) ควำมยำวรอบรู ปของสี่ เหลี่ยมผืนผ้ำ = ( 2 × ควำมยำวของด้ำนกว้ำง ) + (2 × ควำมยำวของด้ำนยำว) 2. รู ปสี่ เหลีย่ มจัตุรัส

1) มุมทั้งสี่ เป็ นมุมฉำก 2) ด้ำนทั้งสี่ ยำวเท่ำกัน 3) เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่ ง และตั้งฉำกกันซึ่ งกันและกัน 4) พื้นที่ของรู ปสี่ เหลี่ยมจัตุรัส = ควำมยำวด้ำน × ควำมยำวด้ำน หรื อ ควำมยำวเส้นทแยงมุม

1  2

ผลคูณของ

69

3. รู ปสี่ เหลีย่ มด้ านขนาน

1) มีดำ้ นตรงกันยำวเท่ำกันและขนำนกันสองคู่ 2) เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่ งกันและกัน แต่ยำวไม่เท่ำกัน 3) พื้นที่ของรู ปสี่ เหลี่ยมด้ำนขนำน = ควำมยำวฐำน × ส่ วนสู ง 4. รู ปสี่ เหลีย่ มขนมเปี ยกปูน

1) มีดำ้ นตรงข้ำมกันขนำนกันสองคู่ 2) ด้ำนทั้งสี่ ยำวเท่ำกัน 3) เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่ งซึ่ งกันและกัน และตั้งฉำกกัน 4) พื้นที่รูปสำมเหลี่ยมขนมเปี ยกปูน = ควำมยำวฐำน × ส่ วนสู ง หรื อ ควำมยำวของเส้นทแยงมุม 5. รู ปสี่ เหลีย่ มรู ปว่ าว

1  2

ผลคูณของ

1) มีดำ้ นประชิดกันยำวเท่ำกัน 2 คู่ 2) เส้นทแยงมุมสองเส้นตั้งฉำกกัน 3) เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่ งซึ่ งกันและกัน แต่ยำวไม่เท่ำกัน 4) พื้นที่ของรู ปสี่ เหลี่ยมรู ปว่ำว =

1  2

ผลคูณของควำมยำวของเส้นทแยงมุม

70

6. รู ปสี่ เหลีย่ มคางหมู

1) มีดำ้ นขนำนกัน 1 คู่

1 × ผลบวกของควำมยำวของด้ำนคู่ขนำน × ส่ วนสู ง 2

2) พื้นที่ของรู ปสี่ เหลี่ยมคำงหมู = 7. รู ปวงกลม O

1) 2) 3) 4)

ระยะทำงจุดศูนย์กลำงไปยังเส้นรอบวงเป็ นระยะที่เท่ำกันเสมอ เรี ยกว่ำ รัศมีของวงกลม (r) เส้นผ่ำนศูนย์กลำงยำวเป็ น 2 เท่ำของรัศมี (r) พื้นที่วงกลม = r 2 ควำมยำวเส้นรอบรู ปของวงกลม 2 r

วีดิทัศน์ เรื่อง รูปเรขาคณิตสองมิติ

1.2 รู ปเรขาคณิตสามมิติ รู ปเรขำคณิ ตสำมมิติสำมำรถแสดงรู ปร่ ำงซึ่ งมีท้ งั ควำมกว้ำง ควำมยำว ควำมสู ง หรื อควำมหนำ ตัวอย่ำงรู ปทรงเรขำคณิ ตสำมมิติ เช่น ปริซึม เป็ นรู ปสำมมิติที่มีหน้ำตัดหัวท้ำยเป็ นรู ปเหลี่ยมเท่ำกันทุกประกำรและขนำนกันและผิวด้ำนข้ำง เป็ นรู ปสี่ เหลี่ยมผืนผ้ำ เช่น

ปริ ซึมสำมเหลี่ยม

ปริ ซึมสี่ เหลี่ยม

ปริ ซึมห้ำเหลี่ยม

71

พีระมิด เป็ นรู ปเรขำคณิ ตสำมมิติที่มียอดแหลม ผิวด้ำนข้ำงเป็ นรู ปสำมเหลี่ยม

สู งเอียง

พีระมิดฐำนสี่ เหลี่ยม

พีระมิดฐำนสำมเหลี่ยม

ตัวอย่ำงรู ปเรขำคณิ ตสำมมิติที่พบเห็นในชีวิตประจำวัน เช่น ตูเ้ ย็น เป็ นรู ปทรงสี่ เหลี่ยมมุมฉำก หรื อปริ ซึมสี่ เหลี่ยม กระป๋ องของปลำกระป๋ อง เป็ นรู ปทรงกระบอก ไอศกรี ม เป็ นรู ปกรวยกลม เป็ นต้น 1.3 การคลีร่ ู ปเรขาคณิตสามมิติ ภาพทีไ่ ด้ จะเป็ นภาพของรู ปเรขาคณิตสองมิติ เช่ น การคลีร่ ู ป ปริซึมทรงสี่ เหลีย่ มมุมฉากรู ปทรงปี ระมิด สี่ เหลี่ยมมุมฉำก

กำรคลี่รูปพีระมิด ฐำนสี่ เหลี่ยม

วีดิทัศน์ เรื่อง รูปเรขาคณิตสามมิติ

วีดทิ ัศน์ เรื่อง การคลี่รูปเรขาคณิตสามมิติ

72

กัน เช่น

1.4 การตัดขวางรู ปเรขาคณิตสามมิติ เมื่อนำระนำบมำตัดขวำงรู ปทรงเรขำคณิ ตสำมมิติในแนวต่ำงๆ กัน ภำพที่เกิดขึ้นจะมีลกั ษณะต่ำงๆ กรวยกลม เมื่อตัดด้วยระนำบในแนวขนำนกับฐำนกรวย จะได้ภำพสองมิติเป็ นรู ปวงกลม

กรวยกลม เมื่อตัดด้วยระนำบในแนวตั้งฉำกกับฐำนกรวย จะได้ภำพเป็ นรู ปพำลำโบลำ

กรวยกลม เมื่อตัดด้วยระนำบที่ไม่ขนำนกับฐำนและไม่ต้ งั ฉำกกับฐำน จะได้ภำพเป็ นวงรี

1.5 มุมมองของรู ปเรขาคณิตสามมิติ รู ปเรขำคณิ ตที่พบเห็นในชี วิตประจำวันมีรูปร่ ำงและสิ่ งที่มองเห็นจำกกำรเปลี่ยนมุมมองแต่ละด้ำน แตกต่ำงกัน เช่น รูป

เรขำค ณิต

วีดิทัศน์ เรื่อง การตัดขวางและมุมมองรูปเรขาคณิตสามมิติ

73

1.6 รู ปเรขาคณิตสามมิติทเี่ กิดจากการหมุนรู ปเรขาคณิตสองมิติ 1) รู ปสำมเหลี่ยมหน้ำจัว่ ABC มีแกน EF เป็ นแกนสมมำตร ถ้ำนำรู ปสำมเหลี่ยมหน้ำจัว่ ABC หมุนรอบแกนสมมำตร EF จะเห็นเป็ นรู ปเรขำคณิ ตสำมมิติ “กรวยกลม”

2) แผ่นกระดำษแข็งรู ปวงกลม เป็ นรู ปเรขำคณิ ตสองมิติ ถ้ำใช้เส้นผ่ำนศูนย์กลำง หมุนรู ปเรขำคณิ ตสำมมิติที่เกิดจำกกำรหมุนจะเห็นเป็ นลักษณะ “ทรงกลม”

yy  เป็ นแกน

3) กระดำษรู ปสี่ เหลี่ยมผืนผ้ำ เป็ นรู ปเรขำคณิ ตที่มีแกนสมมำตรสองแกน

จะเห็นเป็ น ทรงกระบอก

วีดิทัศน์ เรื่อง รูปเรขาคณิตสามมิติที่เกิดจากการหมุน

74

1.7 การเขียนภาพของรู ปเรขาคณิตสามมิติ กำรเขียนภำพของรู ปเรขำคณิ ตสำมมิติอย่ำงง่ำยอำจใช้ข้ นั ตอนดังในตัวอย่ำงต่อไปนี้ 1. กำรเขียนภำพของทรงกระบอก

ขั้นที่ 1 เขียนวงรี แทนหน้ำตัดที่เป็ นวงกลมและเขียนส่ วนของเส้นตรงสองเส้น แสดงส่ วนสู งของ ทรงกระบอก ดังรู ป ขั้นที่ 2 เขียนวงรี ที่มีขนำดเท่ำกับวงรี ที่ใช้ในขั้นที่ 1 แทนวงกลมซึ่งเป็ นฐำนของทรงกระบอก และเขียนเส้นประแทนเส้นทึบตรงส่ วนที่ถูกบัง 2. กำรเขียนภำพของปริ ซึม

ขั้นที่ 1 เขียนทรงกระบอกตำมวิธีกำรข้ำงต้น ขั้นที่ 2 กำหนดจุดบนวงรี ดำ้ นบนเพื่อใช้เป็ นจุดยอดของรู ปสี่ เหลี่ยมที่เป็ นฐำนของปริ ซึมตำม ต้องกำรแล้วลำกส่ วนของเส้นตรงเชื่อมต่อจุดเหล่ำนั้น ขั้นที่ 3 เขียนส่ วนสู งของปริ ซึมจำกจุดยอดของรู ปเหลี่ยมที่ได้ในขั้นที่ 2 มำตั้งฉำกกับวงรี ด้ำนล่ำง ขั้นที่ 4 เขียนส่ วนของเส้นตรงเชื่อมจุดบนวงรี ที่ได้ในขั้นที่ 3 และลบรอยส่ วนโค้งของวงรี จะ ได้รูปหลำยเหลี่ยมที่เป็ นฐำนของปริ ซึม แล้วเขียนเส้นประแทนด้ำนที่ถูกบัง

75

3. กำรเขียนภำพของทรงสี่ เหลี่ยมมุมฉำก

ขั้นที่ 1 เขียนรู ปสี่ เหลี่ยมมุมฉำก 1 รู ป ขั้นที่ 2 เขียนรู ปสี่ เหลี่ยมมุมฉำกขนำดเท่ำกันกับรู ปในขั้นที่ 1 อีก 1 รู ป ให้อยูใ่ นลักษณะที่ขนำน กันและเหลื่อมกันประมำณ 30 องศำ ดังรู ป

ขั้นที่ 3 ลำกส่ วนของเส้นตรงเชื่อมต่อจุดให้ได้ทรงสี่ เหลี่ยมมุมฉำก ขั้นที่ 4 เขียนเส้นประแทนด้ำนที่ถูกบัง สำหรับกำรเขียนภำพของกรวย ทรงกลม และพีระมิดก็สำมำรถเขียนได้โดยใช้วธิ ี กำรเดียวกันกับ ข้ำงต้นซึ่ งมีข้ นั ตอนดังนี้ 4. กำรเขียนภำพของกรวย 5. กำรเขียนภำพของทรงกลม

6. กำรเขียนภำพของพีระมิดฐำนหกเหลี่ยม

76

นอกจำกจะใช้วธิ ี กำรดังกล่ำวข้ำงต้นในกำรเขียนภำพของรู ปเรขำคณิ ตสำมมิติแล้ว อำจใช้กระดำษที่ มีจุดเหมือนกระดำนตะปู (Geoboard) หรื อกระดำษจุดไอโซเมตริ ก (Isometric dot paper) ช่วยในกำรเขียน ภำพนั้นๆ

กระดำษที่มีจุดเหมือนกระดำนตะปู กระดำษจุดไอโซเมตริ ก กำรเขียนภำพของรู ปเรขำคณิ ตสองมิติบนกระดำษที่มีจุดเหมือนกระดำนตะปู ดังตัวอย่ำง

นอกจำกนี้ยงั นิยมเขียนภำพของรู ปเรขำคณิ ตสำมมิติบนกระดำษจุดไอโซเมตริ ก ภำพของรู ป เรขำคณิ ตสำมมิติที่เขียนอยูใ่ นลักษณะนี้เรี ยกว่ำ ภำพแบบไอโซเมตริ ก กำรเขียนภำพแบบไอโซเมตริ กบนกระดำษจุดไอโซเมตริ กจะเขียนส่ วนของเส้นตรงที่เป็ นด้ำนกว้ำง ด้ำนยำว ตำมแนวของจุดซึ่ งเอียงทำมุมขนำด 30 องศำ กับแนวนอนและเขียนส่ วนของเส้นตรงที่เป็ นส่ วนสู ง ตำมแนวของจุดในแนวตั้ง ดังตัวอย่ำง

วีดิทัศน์ เรื่อง การเขียนภาพของรูปเรขาคณิตสามมิติ

77

เรื่ องที่ 2 การแปลงทางเรขาคณิต

เป็ นคำศัพท์ที่ใช้เรี ยกกำรดำเนินกำรใดๆทำงเรขำคณิ ต ทั้งในสองมิติและสำมมิติ เช่น กำรเลื่อน ขนำน กำรหมุน กำรสะท้อน 2.1 การเลื่อนขนาน (Translation) กำรเลื่อนขนำนต้องมีรูปต้นแบบ ทิศทำงและระยะทำงที่ตอ้ งกำรเลื่อนรู ป กำรเลื่อนขนำนเป็ น กำรแปลงที่จบั คู่จุดแต่ละจุดของรู ปต้นแบบกับจุดแต่ละจุดของรู ปที่ได้จำกกำรเลื่อนรู ปต้นแบบไปในทิศทำง ใดทิศทำงหนึ่ งด้วยระยะทำงที่กำหนด จุดแต่ละจุดบนรู ปที่ได้จำกกำรเลื่ อนขนำนจะห่ ำงจำกจุดที่สมนัยกัน บนรู ปต้ น แบบเป็ นระยะทำงเท่ ำ กั น กำรเลื่ อ นในลั ก ษณะนี้ เรี ยกอี ก อย่ ำ งหนึ่ งว่ ำ “สไลด์ (slide)” ดังตัวอย่ำงในภำพที่ 1 และภำพที่ 2 รู ปต้นแบบ

ภำพที่ 1

รู ปต้นแบบ ภำพที่ 2

วีดิทัศน์ เรื่อง การเลื่อนขนาน

78

2.2 การหมุน (Rotation) กำรหมุนจะต้องมีรูปต้นแบบ จุดหมุนและขนำดของมุมที่ตอ้ งกำรในรู ปนั้น กำรหมุนเป็ นกำรแปลง ที่จบั คู่จุดแต่ละจุดของรู ปต้นแบบกับจุดแต่ละจุดของรู ปที่ได้จำกกำรหมุน โดยที่จุดแต่ละจุดบนรู ปต้นแบบ เคลื่อนที่รอบจุดหมุนด้วยขนำดของมุมที่กำหนด จุดหมุนจะเป็ นจุดที่อยูน่ อกรู ปหรื อบนรู ปก็ได้ กำรหมุนจะ หมุนทวนเข็มนำฬิกำหรื อตำมเข็มนำฬิกำก็ได้ โดยทัว่ ไปเมื่อไม่ระบุไว้กำรหมุนรู ปจะเป็ นกำรหมุนทวนเข็ม นำฬิกำ บำงครั้งถ้ำกำรหมุนตำมเข็มนำฬิกำ อำจใช้สัญลักษณ์ -x๐ หรื อ ถ้ำกำรหมุนทวนเข็มนำฬิกำ อำจใช้สัญลักษณ์ x๐

B

C

B

รูปต้นแบบ

A

จากรู ป เป็ นกำรหมุนรู ปสำมเหลี่ยม ABC ใน ลักษณะทวนเข็มนำฬิกำ โดยมีจุด O เป็ นจุดหมุน ซึ่ง จุดหมุนเป็ นจุดที่อยูน่ อกรู ปสำมเหลี่ยม ABCรู ป เป็ นรู ปที่ได้จำกกำรหมุน 90๐ และจะได้ ว่ำ ขนำดของมุม เท่ำกับ 90๐ เท่ำกับ 90๐ และ เท่ำกับ 90๐

2.3 การสะท้อน (Reflection) กำรสะท้อ นต้อ งมีรู ป ต้น แบบที่ต อ้ งกำรสะท้อ นและเส้น สะท้อ น (Reflection line หรื อ Mirror line) กำรสะท้อนรู ปข้ำมเส้นสะท้อนเสมือนกับกำรพลิกรู ปข้ำมเส้นสะท้อนหรื อกำรดูเงำสะท้อนบน กระจกเงำที่วำงบนเส้นสะท้อน กำรสะท้อนเป็ นกำรแปลงที่มีกำรจับคู่กนั ระหว่ำงจุด แต่ละจุดบนรู ปต้นแบบ กับจุดแต่ละจุดบนรู ปสะท้อน โดยที่ 1. รู ปที่เกิดจำกกำรสะท้อนมีขนำดและรู ปร่ ำงเช่นเดิม หรื อกล่ำวว่ำรู ปที่เกิดจำกกำรสะท้อน เท่ำกันทุกประกำรกับรู ปเดิม O 2. เส้นสะท้อนจะแบ่งครึ่ งและตั้งฉำกกับส่ วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่ำงจุดแต่ละจุดบนรู ป ต้นแบบกับจุดแต่ละจุดบนรู ปสะท้อนที่สมนัยกัน นัน่ คือระยะระหว่ำงจุดต้นแบบและเส้นสะท้อนเท่ำกับ ระยะระหว่ำงจุดสะท้อนและเส้นสะท้อน

79

ตัวอย่ำง m P

A B รู ปต้นแบบ C

จากรู ป รู ป สำมเหลี่ ย ม ABC เป็ นรู ป สะท้อ นของรู ป สำมเหลี่ ย ม ABC ข้ำ มเส้ น สะท้อ น m รู ปสำมเหลี่ ยม ABC เท่ำกันทุ กประกำรกับรู ปสำมเหลี่ ยม ABC ส่ วนของเส้ นตรง AA ตั้งฉำกกับเส้ น สะท้อน m ที่จุด P และระยะจำกจุด A ถึงเส้น m เท่ำกับระยะจำกเส้น m ถึงจุด A  ( AP  PA )

วีดิทัศน์ เรื่อง การสะท้อน

80

กิจกรรมบทที่ 6 แบบฝึ กหัดที่ 1

1. กำหนดมุมในรู ปสี่ เหลี่ยมมุมฉำกดังรู ป

ก. รู ปสี่ เหลี่ยม ABCD เป็ นรู ปสี่ เหลี่ยมชนิดใด ข. BDˆ E มีขนำดกี่องศำ ค. รู ปสี่ เหลี่ยม BDEG เกิดจำกกำรใช้ระนำบตัดทรงรู ปสี่ เหลี่ยมมุมฉำกตำมแนวใด ง. รู ปสำมเหลี่ยม BDE เกี่ยวข้องกับ รู ปสี่ เหลี่ยม BDEG อย่ำงไร 2. จงเขียนรู ปคลี่ของทรงสำมมิติต่อไปนี้

ดูเฉลยกิจกรรมท้ ายบท

81

บทที่ 7 สถิติเบื้องต้ น

สาระสาคัญ 1. ข้อมูลสถิติ หมำยถึง ตัวเลขหรื อข้อควำมที่แทนข้อเท็จจริ งของลักษณะที่เรำสนใจ 2. ระเบี ยบวิธีกำรทำงสถิ ติ จะประกอบไปด้วย กำรเก็บรวบรวมข้อมู ล กำรนำเสนอข้อมู ล กำร วิเครำะห์และกำรตีควำมของข้อมูล 3. กำรเก็บรวบรวมข้อมู ล หมำยถึ ง กระบวนกำรกระทำเพื่อจะให้ได้ขอ้ มูลที่ตอ้ งกำรศึกษำภำยใต้ ขอบเขตที่กำหนด 4. กำรนำเสนอข้อมูลที่ เก็บรวบรวมมำ จะมี 2 แบบ คือ กำรนำเสนออย่ำงเป็ นแบบแผนและกำร นำเสนออย่ำงไม่เป็ นแบบแผน 5. กำรวัดแนวโน้มเข้ำสู่ ส่วนกลำง เป็ นกำรหำค่ำกลำงด้วยวิธีต่ำง ๆ กัน เพื่อใช้เป็ นตัวแทนของข้อมูล ทั้งชุด ค่ำกลำงที่นิยมใช้มี 3 วิธี ค่ำเฉลี่ยเลขคณิ ต ค่ำมัธยฐำนและค่ำฐำนนิยม ผลการเรียนรู้ ทคี่ าดหวัง 1. อธิ บำยขั้นตอนกำรวิเครำะห์ขอ้ มูลเบื้องต้น และสำมำรถนำผลกำรวิเครำะห์ขอ้ มูลเบื้องต้นไปใช้ใน กำรตัดสิ นใจได้ 2. เลือกใช้ค่ำกลำงที่เหมำะสมกับข้อมูลที่กำหนดและวัตถุประสงค์ที่ตอ้ งกำรได้ 3. นำเสนอข้อมูลในรู ปแบบต่ำงๆรวมทั้งกำรอ่ำนและตีควำมหมำยจำกกำรนำเสนอข้อมูลได้ ขอบข่ ายเนื้อหา เรื่ องที่ 1 กำรวิเครำะห์ขอ้ มูลเบื้องต้น เรื่ องที่ 2 กำรหำค่ำกลำงของข้อมูลโดยใช้ค่ำเฉลี่ยเลขคณิ ต มัธยฐำนและฐำนนิยม เรื่ องที่ 3 กำรนำเสนอข้อมูล

82

เรื่ องที่ 1 การวิเคราะห์ ข้อมูลเบื้องต้ น

สถิต (Statistics) มีควำมหมำย 2 อย่ำง คือ 1) สถิ ต หมำยถึ ง ค่ำที่ได้จำกกำรประมวลจำกข้อมู ล เบื้ องต้นในลักษณะ สรุ ปรวบยอด ใช้เป็ น ตัวแทนของชุดข้อมูล 2) สถิติ หมำยถึง ระเบียบวิธีกำรที่เกี่ยวข้องกับกำรจัดกระทำข้อมูลเริ่ มตั้งแต่ กำรเก็บรวบรวมข้อมูล กำรนำเสนอข้อมูล กำรวิเครำะห์ขอ้ มูล และกำรตีควำมหรื อแปลควำมหมำยข้อมูล การจาแนกชนิดของข้ อมูล มีดงั นี้ 1) ข้อมูลเชิงคุณภำพ เป็ นข้อมูลที่แสดงถึง คุณสมบัติ สภำพ สถำนะ หรื อควำมคิดเห็น เช่น ควำม สวย ระดับกำรศึกษำ เพศ อำชีพ เป็ นต้น 2) ข้อมูลเชิงปริ มำณ เป็ น ข้อมูลที่แสดงจำนวนมำกหรื อน้อย เป็ นตัวเลข เช่นข้อมูลที่เกิดจำกกำรชัง่ ตวง วัด ซึ่ งค่ำของข้อมูลที่นำปริ มำณมำเปรี ยบเทียบกันได้ เช่น ควำมยำว น้ ำหนัก ส่ วนสู ง 3) ข้อมูลจำแนกตำมเวลำ เป็ นข้อมูลที่แสดงข้อเท็จจริ งตำมช่วงระยะเวลำต่ำงๆ 4) ข้อมูลจำแนกตำมภูมิศำสตร์ เป็ นข้อมูลแยกตำมสภำพท้องถิ่น เช่น แยกตำมจังหวัด การเก็บรวบรวมข้ อมูล จำแนกกำรเก็บจำกแหล่งที่มำของข้อมูล มี 2 ประเภท คือ 1) ข้อมู ล ปฐมภู มิ (Primary data) หมำยถึ ง ข้อมู ล ที่ รวบรวมมำจำกผู ้ใ ห้หรื อแหล่ ง ที่ เป็ นข้อ มู ล โดยตรง เช่น กำรสำรวจนับจำนวนพนักงำนในบริ ษทั แห่งหนึ่ง เป็ นต้น มีวธิ ี เก็บรวบรวมดังนี้ (1) กำรสัมภำษณ์ (2) กำรสอบถำมทำงไปรษณี ย ์ (3) กำรสอบถำมทำงโทรศัพท์ (4) กำรสังเกต (5) กำรทดลอง 2) ข้อมูลทุติยภูมิ (Secondary data) หมำยถึ ง ข้อมูลที่รวบรวมหรื อเก็บมำจำกแหล่งข้อมูลที่ มีกำร รวบรวมไว้แล้ว เช่น กำรคัดลอกจำนวนสิ นค้ำส่ งออกที่กำรท่ำเรื อได้รวบรวมไว้ อนึ่ง กำรเก็บรวบรวมข้อมูล ถ้ำเรำเลือกมำจำกจำนวนหรื อรำยกำรของข้อมูลที่ ต้องกำรเก็บมำทั้งหมดทุกหน่วยจะเรี ยกว่ำ “ประชำกร” ( Population ) แต่ถำ้ เรำเลือกมำเป็ นบำงหน่วยและ เป็ นตัวแทนของประชำกรนั้น ๆ เรำจะเรี ยกว่ำ “กลุ่มตัวอย่ำง” หรื อ “ตัวอย่ำง” ( Sample )

วีดิทัศน์ เรื่อง สถิติเบื้องต้น

83

การวิเคราะห์ ข้อมูล มีดงั นี้ 1) สถิติเชิ งพรรณนำ เป็ นกำรวิเครำะห์ข้ นั ต้น มุ่งวิเครำะห์เพื่ออธิ บำยลักษณะกว้ำงๆของข้อมูลชุ ด นั้นๆ 2) สถิ ติเชิ งอนุ มำน เป็ นกำรวิเตรำะห์ขอ้ มูลที่ เก็บรวบรวมได้จำกตัวอย่ำง เพื่ออ้ำงอิงไปยังข้อมู ล ทั้งหมด ตารางแจกแจงความถี่ ตัวอย่าง จำกตำรำงแจกแจงควำมถี่ของคะแนนสอบของนักเรี ยน 40 คน ดังนี้ อันตรภำคชั้น ควำมถี่ ควำมถี่ จุดกลำงชั้น ขีดจำกัดล่ำง ขีดจำกัดบน (คะแนน) (f) สะสม (xi) 11 – 20 7 7 15.5 10.5 20.5 21 – 30 6 13 25.5 20.5 30.5 31 – 40 8 21 35.5 30.5 40.5 41 – 50 15 36 45.5 40.5 50.5 51 - 60 4 40 55.5 50.5 60.5 ควำมหมำยของค่ำต่ำงๆ ในตำรำงแจกแจงควำมถี่ที่เป็ นอันตรภำคชั้น มีดงั นี้ 1) อันตรภำคชั้น (Class interval) หมำยถึง ข้อมูลที่แบ่งออกเป็ นช่วงๆ เช่น อันตรภำคชั้น 11-20, 21 -30 ,61–70 ,81-90 เป็ นต้น 2) ควำมกว้ำงของอันตรภำคชั้น หมำยถึ ง ควำมกว้ำง 1 ช่ วงของข้อมูลในแต่ละชั้น จำก 11-20 มี ควำมกว้ำง เท่ำกับ 10 3) จำนวนของอันตรภำคชั้น หมำยถึง จำนวนช่วงชั้นทั้งหมดที่ได้แจกแจงไว้ในที่น้ ี มี 5 ชั้น 4) ควำมถี่ (Frequency) หมำยถึง รอยขีดที่ซ้ ำกัน หรื อจำนวนข้อมูลที่ซ้ ำกันในอันตรภำคชั้นนั้น ๆ เช่น อันตรภำคชั้น 41-50 มีควำมถี่เท่ำกับ 15 หรื อมีนกั เรี ยนที่ได้คะแนนในช่วง 41-50 มีอยู่ 15 คน 5) ควำมถี่สะสม เป็ นผลรวมของควำมถี่ของอันตรภำคชั้นนั้น กับควำมถี่ของอันตรภำคชั้นที่มีช่วง คะแนนต่ำกว่ำทั้งหมด 6) จุดกลำงชั้น เป็ นค่ำที่อยูร่ ะหว่ำงกลำงของอันตรภำคชั้น เช่น อันตรภำคชั้น 11 - 20 มีจุดกลำงชั้น 11  20  15.5 เท่ำกับ 2 วีดิทัศน์ เรื่อง ตารางแจกแจงความถี่

84

เรื่ องที่ 2 การหาค่ ากลางของข้ อมูล โดยใช้ ค่าเฉลีย่ เลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม

ค่ ำ กลำงของข้อมู ล เป็ นค่ ำ สถิ ติที่ ไ ด้จำกกำรวิเครำะห์ ข ้อมู ล แต่ ล ะชุ ด ค่ ำ กลำงของข้อมู ล จึ ง เป็ น ตัวแทนของข้อมู ลในแต่ละชุ ด ค่ำกลำงของข้อมู ลที่ สำคัญมี 3 ชนิ ด คื อ ค่ำเฉลี่ ยเลขคณิ ต มัธยฐำน และ ฐำนนิยม ข้ อมูลทีไ่ ม่ ได้ แจกแจงความถี่ 1. ค่ าเฉลีย่ เลขคณิต (Arithmetic mean) คือ ผลบวกของข้อมูลทั้งหมดหำรด้วยจำนวนข้อมูล n

 xi x 1  x 2  ...  x n i 1 = เมื่อ n แทนจำนวนข้อมูล x n n 2. มัธยฐาน (Median) คือ ค่ำที่มีตำแหน่งอยูก่ ่ ึงกลำงของข้อมูลทั้งหมด เมื่อได้เรี ยงข้อมูลตำมลำดับ ขั้นตอนการหามัธยฐาน 1) เรี ยงข้อมูลที่มีอยูท่ ้ งั หมดจำกน้อยไปมำก หรื อมำกไปน้อยก็ได้ n 1 2) ตำแหน่งมัธยฐำน คือ ตำแหน่งกึ่งกลำงข้อมูลทั้งหมด ดังนั้นตำแหน่งของมัธยฐำน = 2 เมื่อ n คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด 3. ฐานนิยม (Mode) คือ ค่ำของข้อมูลที่มีควำมถี่สูงสุ ด หรื อค่ำที่มีจำนวนซ้ ำๆ กันมำกที่สุด ขยำยควำม 1) กรณี ที่ขอ้ มูลที่มีควำมถี่มำกที่สุดเท่ำกัน 2 ค่ำ ฐำนนิยมคือค่ำสังเกต 2 ค่ำนั้น 2) กรณี ที่ขอ้ มูลมีควำมถี่เท่ำกันจะไม่มีฐำนนิยม ตัวอย่ าง หำค่ำเฉลี่ยเลขคณิ ต ฐำนนิยม และมัธยฐำนของข้อมูลต่อไปนี้ 5 , 8 , 6 , 8 , 9 , 9 , 10 , 9 , 15 , 11 วิธีทา ค่ าเฉลีย่ เลขคณิต n

 xi x



i 1

n

5  8  6  8  9  9  10  9  15  11 90 = =9 10 10  ค่ำเฉลี่ยเลขคณิ ต คือ 9 =

85

ค่ ามัธยฐาน 1) เรี ยงข้อมูลจำกน้อยไปมำก ดังนี้ 5 , 7 , 8 , 8 , 9 , 9 , 9 , 10 , 11 , 15 n  1 10  1 2) ตำแหน่งมัธยฐำน = = = 5.5 (จำนวนข้อมูลทั้งหมด n = 10) 2 2 ตำแหน่งที่ 5.5 คือ ระหว่ำงข้อมูลตั้วที่ 5 และตัวที่ 6 คือ 9 กับ 9  มัธยฐำน คือ 9 ฐานนิยม คือข้อมูลที่มีควำมถี่มำกที่สุด = 9  ฐำนนิยม คือ 9 ตัวอย่าง คะแนนสอบของนักเรี ยนห้องหนึ่งปรำกฏดังตำรำง คะแนน 10 12 15 18 จำนวน 2 4 6 5

20 3

จงหาค่ าเฉลีย่ เลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม วิธีทา จำนวนนักเรี ยน 2 + 4 + 6 + 5 + 3 = 20 คน ค่ าเฉลีย่ เลขคณิต (10)(2)  (12)(4)  (15)(6)  (18)(5)  (20)(3) x = 20 = 15.40  ค่ำเฉลี่ยเลขคณิ ต คือ 15.40 คะแนน ค่ ามัธยฐาน

n  1 20  1 = = 10.5 2 2 2) อยูร่ ะหว่ำงคนที่ 10 กับ 11 = 15คะแนน  ค่ำมัธยฐำน คือ 15 คะแนน

1) ตำแหน่งมัธยฐำน =

ฐานนิยม ข้อมูลที่ซ้ ำมำกที่สุดคือ 6 คน  ฐำนนิยม คือ 15 คะแนน วีดิทัศน์ เรื่อง การหาค่ากลางของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่

86

ข้ อมูลทีม่ ีการแจกแจงความถี่เป็ นอันตรภาคชั้น 1. ค่ าเฉลีย่ เลขคณิต เมื่อ

k x1 f1 N

k

 fi x 1

x



i 1

N

คือ คือ คือ คือ

จำนวนอันตรภำคชั้น จุดกึ่งกลำงของแต่ละอันตรภำคชั้น ควำมถี่ของแต่ละอันตรภำคชั้น จำนวนข้อมูลทั้งหมด

2. มัธยฐาน (Median) ขั้นตอนกำรหำมัธยฐำน 1) สร้ำงตำรำงแจกแจงควำมถี่สะสม k

2) ค่ำมัธยฐำนอยูต่ ำแหน่งที่ =

 fi i 1

2

3) หำค่ำมัธยฐำนด้วยสู ตร

  f1   i 1   f L   2 Me  L  I   f m       k

เมื่อ

L

คือ

ขอบล่ำงของอันตรภำคชั้นที่มีมธั ยฐำน

I

คือ

ควำมกว้ำงของอันตรภำค

fm

คือ

ควำมถี่ของชั้นที่มีมธั ยฐำนอยู่

 fL คือ

ควำมถี่สะสมของชั้นที่อยูต่ำกว่ำชั้นที่มธั ยฐำน อยู่ 1 ชั้น

3. ฐานนิยม (Mode) สำมำรถหำฐำนนิยมจำกสู ตร (ข้อมูลต้องมีควำมกว้ำงของอันตรภำคชั้นเท่ำกัน)

 d  Mo  L  I  1   d1  d 2 

เมื่อ

L

คือ

ขอบล่ำงของอันตรภำคชั้นที่มีควำมถี่มำกสุ ด

I

คือ

ควำมกว้ำงของอันตรภำคชั้น

d1

คือ

ผลต่ำงของควำมถี่สูงสุ ดกับควำมถี่ช้ นั ที่มีคะแนนต่ำกว่ำที่อยูต่ ิดกัน

d2

คือ

ผลต่ำงของควำมถี่สูงสุ ดกับควำมถี่ของชั้น ที่มีคะแนนสู งกว่ำที่อยูต่ ิดกัน

87

ตัวอย่าง กำหนดตำงรำงแจกแจงควำมถี่ของข้อมูล จงหำค่ำเฉลี่ยเลขคณิ ต มัธยฐำน และฐำนนิยม คะแนน 34 – 36 37 – 39 40 – 42 43 – 45 46 – 48

ความถี่ 4 3 6 10 2

วิธีทา ค่ าเฉลีย่ เลขคณิต คะแนน 34 – 36 37 – 39 40 – 42 43 – 45 46 – 48

ความถี่ (f1) 4 3 6 10 2 25

ความถี่สะสม 4 7 13 23 25

จุดกึง่ กลาง (x1) 35 38 41 44 47

(f1) (x1) 140 114 246 440 94 1,034

k

 fi x 1 x



f 1

N

140  114  246  440  94 1034 = 25 25 = 41.36

=

มัธยฐาน k

ตำแหน่งของมัธยฐำนคือ =

 fi i 1

N 8  3  6  10  2 25 = = = 12.5 2 2 ข้อมูลตัวที่ 12.5 อยูใ่ นอันตรภำคชั้นที่มีคะแนน 40 – 42

88

ดังนั้น L = 39.5 , I = 3 , fm = 6 k   f1   i 1   f L   Me  L  I  2  f m        12.5  7  = 39.5 + 3    6  = 39.5 + 2.75 = 42.45 ฐานนิยม ตำแหน่ของฐำนนิยมอยูใ่ นอันตรภำคชั้นที่มีคะแนน 43 – 45 ดังนั้น L = 42.5 , I = 3 d1 = 10 – 6 = 4 d2 = 10 – 2 = 8

 d  Mo = L + I  1   d1  d 2   4   = 42.5 + 3  4  8   4 = 42.5 + 3   = 43.5  12 

วีดิทัศน์ เรื่อง การหา ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ของข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่

วีดิทัศน์ เรื่อง การหา ค่ามัธยฐาน ของข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่

วีดิทัศน์ เรื่อง การหา ค่าฐานนิยม ของข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่

วีดิทัศน์ เรื่อง การหา ค่าฐานนิยม ของข้อมูลที่ไม่มีการแจกแจงความถี่

89

ความสั มพันธ์ ระหว่างค่ าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม นักสถิติพยำยำมหำควำมสัมพันธ์ระหว่ำงค่ำกลำงทั้งสำม ฐำนนิยม = ตัวกลำงเลขคณิ ต – 3 (ตัวกลำงเลขคณิ ต – มัธยฐำน ) หรื อ Mo = x  3x  Md  ถ้ำแสดงด้วยเส้นโค้งควำมสัมพันธ์ระหว่ำงกำรแจกแจงควำมถี่ค่ำกลำง และกำรกระจำยของข้อมูล ได้ดงั นี้

ข้อมูลมีกำรแจกแจงเป็ นโค้งปกติ

ข้อมูลมีกำรแจกแจงเบ้ขวำ

ข้อมูลมีกำรแจกแจงเบ้ซำ้ ย

วีดิทัศน์ เรื่อง ความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิต ฐานนิยม และมัธยฐาน

90

เรื่ องที่ 3 การนาเสนอข้ อมูลสถิติ กำรนำเสนอข้อมูลสถิติแบ่งเป็ น 2 ลักษณะใหญ่ๆ คือ กำรนำเสนออย่ำงเป็ นและไม่เป็ นแบบแผน การนาเสนออย่ างไม่ เป็ นแบบแผน เป็ นกำรนำเสนอข้อมูลที่ไม่จำเป็ นต้องมีกฎเกณฑ์อะไรมำกนัก ประกอบด้วย กำรนำเสนอในรู ปบทควำมและกำรนำเสนอในรู ปข้อควำมกึ่งตำรำง การนาเสนออย่ างเป็ นแบบแผน เป็ นกำรนำเสนอข้อมูลที่มีกฎเกณฑ์และมำตรฐำนที่กำหนดไว้ เป็ นแบบแผน ซึ่ งอยูใ่ นลักษณะของตำรำง แผนภูมิ แผนภำพ และกรำฟต่ำงๆ 1) การนาเสนอโดยใช้ ตาราง เป็ นกำรนำเสนอข้อมูลที่เป็ นที่นิยมกันแพร่ หลำยเพรำะสะดวกและ เข้ำใจง่ำย ใช้ได้กบั ข้อมูลที่หลำกหลำย กะทัดรัดและสะดวกต่อกำรวิเครำะห์ โดยกำนำข้อมูลมำจัดเรี ยงให้อยู่ ในรู ปแถว (row) หรื อสดมภ์ (column) แถว หมำยถึง กำรเรี ยงตำมแนวนอน และ สดมภ์ หมำยถึง กำรเรี ยงตำมแนวตั้ง องค์ประกอบตำรำงสถิติโดยทัว่ ไปประกอบด้วยผังดังต่อไปนี้ 1. หมายเลขตาราง (table number) ชื่ อเรื่ อง (title) หมายเหตุ (prefatory note) หัวขั้ว (Stub head) ตัวขั้ว (stub entries) หมายเหตุล่าง (footnote) หมายเหตุแหล่ งทีม่ า ( source note)

หัวสดมภ์ (Column head) ตัวเรื่ อง (body)

ตัวอย่าง ตำรำงแสดงจำนวนประชำกรของประเทศไทยปี ต่ำงๆ จำแนกตำมเพศ (สานักงานสถิตแิ ห่ งชาติ ) พ.ู. 2503 2513 2523

จานวนประชากร ชาย หญิง รวม 13,154,149 13,103,767 26,257,916 17,123,862 17,273,512 34,397,374 22,008,063 22,170,074 44,278,137

ขยำยควำม 1. หมำยเลขตำรำง เป็ นตัวเลขที่แสดงลำดับที่ของตำรำง ใช้ในกรณี ที่นำเสนอมำกกว่ำหนึ่งตำรำง 2. ชื่ อเรื่ อง เป็ นข้อควำมที่ อยู่ต่อจำกหมำยเลขตำรำง ชื่ อเรื่ องที่ ใช้ แสดงว่ำเป็ นเรื่ องเกี่ ยวกับอะไร ที่ ไหน เมื่อไร 3. หมำยเหตุคำนำ เป็ นข้อควำมที่อยูใ่ ต้ชื่อเรื่ อง เป็ นส่ วนที่ช่วยให้รำยละเอียดในตำรำงมีควำมชัดเจนยิง่ ขึ้น

91

4. ต้นขั้ว ประกอบด้วย หัวขั้ว และต้นขั้ว ซึ่ งหัวขั้วจะอธิ บำยเกี่ยวกับ ตัวขั้ว ส่ วนตัวขั้ว จะแสดงข้อมูลที่อยูใ่ น แนวนอน ในที่น้ ีหวั ขั้อคือ พ.ศ. 5. หัวเรื่ อง ประกอบด้วย หัวสดมภ์ และตัวเรื่ อง ซึ่ งหัวสดมภ์ใช้อธิ บำยข้อมูลแต่ละสดมภ์ ตำมแนวตั้งตัวเรื่ อง ประกอบด้วย ข้อมูลที่เป็ นตัวเลขโดยส่ วนใหญ่ ในที่น้ ีหวั สดมภ์ คือ ชำย , หญิง , รวม 6. หมำยเหตุแหล่งที่มำ บอกให้ทรำบว่ำข้อมูลในตำรำงมำจำกที่ใด ช่วยให้ผอู ้ ่ำนได้คน้ คว้ำเพิ่มเติม 2) แผนภูมิรูปภาพ (Pictogram) เป็ นแผนภูมิที่ใช้รูปภำพแทนจำนวนของข้อมูล รู ปกำรนำเสนอข้อมูลในรู ปภำพทำให้ดึงดูดควำมสนใจมำกขึ้น ดังตัวอย่ำง แผนภูมริ ู ปภาพ ซึ่งแสดงปริมาณทีไ่ ทยส่ งสินค้ าออกไปขายยังประเทูบรู ไนระหว่ างปี 2527-2531 2527

234

2528

360

2529

360

2530

450

2531

550

ทีม่ า : กรมูุลกากร

= 100 ล้ ำนบำท

3) แผนภูมิรูปวงกลม คือ แผนภูมิที่แสดงเป็ นรู ปวงกลม โดยใช้พ้นื ที่วงกลมบอกปริ มำณของข้อมูล โดยแบ่งรู ปวงกลมออกเป็ นส่ วนๆ จำกจุดศูนย์กลำงของรู ปวงกลมตำมชนิ ดของข้อมูล และเขียนปริ มำณของ ข้อมูลคิดเป็ นเปอร์ เซ็นต์ ซึ่ งให้พ้นื ที่วงกลมเปป็ นปริ มำณ 100 เปอร์ เซ็นต์ ดังตัวอย่ำง แผนภูมริ ูปวงกลมแสดงการเปรียบเทียบงบประมาณด้ านต่ าง ๆ ทีใ่ ช้ ในสถานูึกษา ( ยกเว้ นเงินเดือน – ค่ าจ้ าง )

4. แผนภูมิแท่ ง (Bar chart) เป็ นรู ปแท่งสี่ เหลี่ยมผืนผ้ำที่มีควำมยำวแท่งแปรตำมปริ มำณข้อมูล ซึ่ ง แผนภูมิแท่งมีหลำยประเภท คือ แผนภูมิแท่งเชิ งเดียว แผนภูมิแท่งเชิ งซ้อน และแผนภูมิแท่งส่ วนประกอบ ดังนี้ ตัวอย่ำง

92

4.1) แผนภูมิแท่ งเชิ งเดี่ยว (Simple bar chart)

แผนภูมแิ สดงจานวนทีอ่ ยู่อาูัยเปิ ดตัวใหม่ ในเขตกทม. และปริมณฑล จำนวนที่อยู่อำศัย 300000

253,159 250000

200000 142,053 150000 113,150 100000

81,657 58,497

46,909

41,300

50000

0 2534

2535

2536

2537

2538

2539

2540

4.2) แผนภูมิแท่ งเชิ งซ้ อน (Multiple bar chart) เป็ นแผนภูมิแท่งที่ใช้เปรี ยบเทียบข้อมูล ตั้งแต่ 2 ชุ ดขึ้นไป แผนภูมแิ ท่ งแสดงสินทรัพย์ หนีส้ ินและทุนของสหกรณ์ ออมทรัพย์ มหาวิทยาลัยเกษตรูาสตร์

5. การนาเสนอข้ อมูลโดยใช้ กราฟเส้ น ข้อมูลที่นำเสนอด้วยกรำฟ ใช้กบั ข้อมูลที่มีกำรเปลี่ยนแปลงไปตำมกำลเวลำ กำรนำเสนอข้อมูล ด้วยกรำฟช่ วยให้เกิ ดกำรเปรี ย บเที ย บได้ง่ ำ ยกว่ำ และถ้ำ กรำฟในรู ป เดี ย วกันมี หลำยเส้ น ต้องใช้สี หรื อ ลวดลำยของเส้นที่ต่ำงกัน พร้อมกับเขียนชื่อกำกับแต่ละเส้นด้วย 5.1 กราฟเชิงเดี่ยว คือ กรำฟที่แสดงลักษณะของข้อมูลเพียงชุดเดียว

(ล้ านบาท)

กราฟแสดงปริมาณสินค้ าทีน่ าเข้ าจากประเทูสิงคโปร์ ปี พ.ู. 2526 – 2531 40000 30000 20000 10000 0 2526 2527 2528 2529 2530 2531 ปี พ.ศ.

93

5.2 กราฟเชิ งซ้ อน เป็ นกำรนำเสนอข้อ มู ล ในลัก ษณะเดี ย วกับ กรำฟเชิ ง เดี่ ย ว แต่ ก รำฟ เชิงซ้อนเป็ นกำรนำเสนอเพื่อเปรี ยบเทียบควำมแตกต่ำงระหว่ำงข้อมูลตั้งแต่ 2 ชุดขึ้นไป กราฟแสดงราคาข้ าวสาลี และราคาแป้งข้ าวสาลีทปี่ ระเทูไทยสั่งเข้ ามาตั้งแต่ ปี 2517 – 2523

สถิติกบั การตัดสิ นใจ กำรตัดสิ นใจบำงเรื่ อง ไม่สำมำรถนำข้อมูลมำประกอบกำรตัดสิ นใจได้ทนั ที ซึ่ งอำจเป็ นเพรำะข้อมูล มีจำนวนมำก ทำให้มองเห็นภำพไม่ชดั เจน ดังนั้น จึงจำเป็ นต้องนำข้อมูลมำวิเครำะห์ก่อน ข้อมูลที่ผำ่ นกำร วิเครำะห์เรี ยกว่ำ “ สารสนเทูหรื อข่ าวสาร” (Information) จะช่วยให้กำรตัดสิ นใจดียงิ่ ขึ้น หลักในกำรเลือกข้อมูลมำใช้ประกอบกำรตัดสิ นใจ จะต้อง 1) เชื่อถือได้ 2) ครบถ้วน 3) ทันสมัย

วีดิทัศน์ เรื่อง การนาเสนอข้อมูล

วีดิทัศน์ เรื่อง การนาเสนอข้อมูลโดยใช้แผนภูมิแท่ง

วีดิทัศน์ เรื่อง การนาเสนอข้อมูลด้วยกราฟเส้น

94

กิจกรรมบทที่ 7 แบบฝึ กหัดที่ 1

1. จงหำค่ำเฉลี่ยเลขคณิ ต มัธยฐำน และฐำนนิยมของน้ ำหนักเด็ก 20 คน ซึ่ งมีน้ ำหนักเป็ นกิโลกรัม ดังนี้ 12 40 34 28 40 32 26 15 40 18 24 28 29 34 27 28 24 28 40 13 2. ตำรำงแสดงคะแนนสอบของนักเรี ยน ดังนี้ คะแนน 18 – 22 23 – 27 28 – 32 33 – 37 38 – 42 43 – 47 จำกตำรำง จงหำค่ำเฉลี่ยเลขคณิ ต มัธยฐำน ฐำนนิยม

ความถี่ (f) 2 8 15 11 3 1

95

แบบฝึ กหัดที่ 2

1. กรำฟเส้นแสดงรำยรับ – รำยจ่ำยของบริ ษทั แห่งหนึ่งในรอบ 6 เดือนแรกของปี พ.ศ. 2535 จำนวนเงิน (ล้ ำนบำท) รำยจ่ำย รำยรับ 30

20

10

ม.ค

ก.พ.

มี.ค.

เม.ย.

พ.ค.

จำกกรำฟจงตอบคำถำมต่อไปนี้ 1) ในแต่ละเดือนบริ ษทั มีกำไรหรื อขำดทุนเท่ำไร 1.1) มกรำคม 1.3) มีนำคม 1.5) พฤษภำคม 2) เดือนอะไรบริ ษทั มีกำไรมำกที่สุดเป็ นเท่ำไร 3) เดือนอะไรบริ ษทั มีกำไรน้อยที่สุดเป็ นเท่ำไร 4) เดือนใดบ้ำงที่บริ ษทั มีกำไรเท่ำกัน 5) มีเดือนอะไรบ้ำงที่บริ ษทั ขำดทุน

มิ.ย.

เดือน

1.2) กุมภำพันธ์ 1.4) เมษำยน 1.6) มิถุนำยน

2. กำรเลือกข้อมูลมำใช้ประกอบกำรตัดสิ นใจต้องอำศัยหลักกำรใดบ้ำง 3. ข้อมูล ต่ำงกับ สำรสนเทศ อย่ำงไร จงอธิ บำยพร้อมยกตัวอย่ำงประกอบด้วย

ดูเฉลยกิจกรรมท้ ายเล่ม

96

บทที่ 8 ความน่ าจะเป็ น

สาระสาคัญ 1. กำรนับจำนวนผลลัพธ์ท้ งั หมดที่เกิดจำกกำรกระทำ หรื อกำรทดลองใดๆ ต้องอำศัยกฎเกณฑ์กำรนับ จึงจะทำให้ง่ำยและสะดวก รวดเร็ ว 2. ควำมน่ำจะเป็ น คือ จำนวนที่แสดงให้ทรำบว่ำเหตุกำรณ์ใดเหตุกำรณ์หนึ่ง มีโอกำสเกิดขึ้นมำกหรื อ น้อยเพียงใด สิ่ งที่จำเป็ นต้องทรำบทำควำมเข้ำใจ คือ - กำรทดลองสุ่ ม (Random Experiment) - แซมเปิ ลสเปซ (Sample Space) - เหตุกำรณ์ (Event) 3. ควำมน่ ำ จะเป็ นของเหตุ ก ำรณ์ ใดๆ เป็ นกำรเปรี ย บเที ย บจำนวนสมำชิ กของเหตุ ก ำรณ์ น้ ันๆ กับ จำนวนสมำชิกของแซมเปิ ลสเปซ ซึ่ งเป็ นค่ำที่จะช่วยในกำรพยำกรณ์หรื อกำรตัดสิ นใจได้ ผลการเรียนรู้ ทคี่ าดหวัง 1. หำจ ำนวนผลลัพ ธ์ ที่ อ ำจเกิ ด ขึ้ น ของเหตุ ก ำรณ์ โดยใช้ก ฎเกณฑ์ เ บื้ อ งต้น เกี่ ย วกับ กำรนับ และ แผนภำพต้นไม้อย่ำงง่ำยได้ 2. อธิ บ ำยกำรทดลองสุ่ ม เหตุ ก ำรณ์ ควำมน่ ำ จะเป็ นของเหตุ ก ำรณ์ แ ละหำควำมน่ ำ จะเป็ นของ เหตุกำรณ์ที่กำหนดให้ได้ 3. นำควำมรู ้เกี่ยวกับควำมน่ำจะเป็ นไปใช้ในกำรคำดกำรณ์และช่วยในกำรตัดสิ นใจ ขอบข่ ายเนื้อหา เรื่ องที่ 1 กฎเบื้องต้นเกี่ยวกับกำรนับและแผนภำพต้นไม้ เรื่ องที่ 2 ควำมน่ำจะเป็ นของเหตุกำรณ์ เรื่ องที่ 3 กำรนำควำมน่ำจะเป็ นไปใช้

97

เรื่ องที่ 1 กฎเบื้องต้ นเกีย่ วกับการนับและแผนภาพต้ นไม้

ในชีวติ ประจำวันของคนเรำมีกำรกระทำหรื อกำรทดลองหลำยอย่ำงที่จะเกิดผลลัพธ์ได้หลำยวิธี กำรหำจำนวนรู ปแบบหรื อจำนวนวิธีที่อำจเกิดขึ้นได้จำกกำรนับทั้งหมด โดยมีกฎเบื้องต้นเกี่ยวกับกำรนับ จำกกำรทำงำนดังนี้ 1.1 การทางานทีม่ ี 2 อย่างหรื อสองขั้นตอน ถ้ำงำนอย่ำงแรกมีวธิ ี ทำได้ n1 วิธี และในแต่ละวิธีทำงำนอย่ำงแรกมีวธิ ี ที่จะทำงำนอย่ำงที่สอง ได้ n2 วิธี สำมำรถเขียนแผนผังกำรทำงำนได้ดงั นี้ งำนอย่ำงที่ 1

n1 วิธี

งำนอย่ำงที่ 2

n2 วิธี

จำนวนวิธีทำงำนทั้งสองอย่ำง = n1 × n2 วิธี ตัวอย่างที่ 1 โยนเหรี ยญ 2 อันพร้อมกัน 1 ครั้ง เกิดผลลัพธ์ได้ท้ งั หมดกี่วธิ ี กำหนดให้ H แทนผลที่เกิดขึ้นเป็ นหัว และ T แทนผลที่เกิดขึ้นเป็ นก้อย วิธีทา กำรโยนเหรี ยญ 2 เหรี ยญพร้อมกัน เป็ นกำรทำงำนที่มี 2 ขั้นตอน สำมำรถแสดง เหตุกำรณ์ที่เกิด โดยใช้แผนภำพต้นไม้ได้ ดังนี้ เหรี ยญที่ 1 เหรี ยญที่ 2 เหตุกำรณ์ที่เกิดขึ้น

นัน่ คือ โยนเหรี ยญ 2 เหรี ยญพร้อมกัน 1 ครั้ง เกิดได้ 4 วิธี คือ HH, HT, TH, TT ตอบ

98

ตัวอย่างที่ 2 ชำยคนหนึ่งมีเสื้ อเชิ้ตต่ำงกัน 5 ตัว และกำงเกงขำยำวต่ำงกัน 3 ตัว วิธีทา เรำสำมำรถใช้แผนภำพต้นไม้ช่วยในกำรหำวิธีท้ งั หมดที่เป็ นไปได้แสดงได้ดงั แผนภำพข้ำงล่ำงนี้

จำกแผนภำพต้นไม้จะพบว่ำกำรแต่งกำยของชำยคนนี้ที่แตกต่ำงกันนับได้ท้ งั หมด 15 วิธี ตัวอย่างที่ 3 โยนลูกเต๋ ำ 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง เกิดได้ท้ งั หมดกี่วธิ ี วิธีทา โยนลูกเต๋ ำ 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง เป็ นกำรทำงำน 2 อย่ำง ลูกที่ 1 ลูกที่ 2 จัด ได้ 6 × 6 งำนอย่ำงแรก เกิดจำกลูกเต๋ ำลูกที่ 1 ซึ่งมี 6 หน้ำ เกิดได้ 6 วิธี งำนที่ 2 เกิดจำกลูกเต๋ ำลูกที่ 2 ซึ่ งมี 6 หน้ำ เกิดได้ 6 วิธี  โยนลูกเต๋ ำ 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง เกิดได้ = 6 ×6 = 36 วิธี สำมำรถแจกแจงผลลัพธ์ ได้ดงั นี้ (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) ตอบ 36 วิธี วีดิทัศน์ เรื่อง แผนภาพต้นไม้ กับกฎการคูณที่มีการทางาน 2 อย่าง

99

1.2 การทางานทีม่ ี 3 อย่างหรื อสามขั้นตอน กำรนับจะมีแนวคิดในทำนองเดียวกัน แต่จำนวนขั้นตอนในกำรเขียนแผนภำพต้นไม้ หรื อกำร หำผลคูณคำร์ทีเซียน จะมี 3 งำนหรื อ 3 ขั้นตอนที่ตอ้ งทำต่อเนื่องกัน ดังตัวอย่ำงต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 4 บริ ษทั รถยนต์แห่งหนึ่งผลิตตัวถังรถยนต์ออกมำ 2 แบบ มีเครื่ องยนต์ 2 ขนำด และสี ต่ำงๆ กัน 3 สี ถ้ำต้องกำรแสดงรถยนต์ให้ครบทุกแบบ ทุกขนำด และทุกสี จะต้องใช้รถยนต์อย่ำง น้อยที่สุดกี่คนั วิธีทา โดยใช้แผนภำพต้นไม้ (Tree Diagram ) จะได้ผลดังนี้ กำรทำงำนมี 3 ขั้นคือ ขั้นที่ 1 ขั้นที่ 2 ขั้นที่ 3 ตัวถัง เครื่ อง สี ผลงำน

ค2

ดังนั้น จะต้องมีรถยนต์แสดงอย่ำงน้อย 12 คัน จึงจะครบทุกแบบทุกสี ทุกขนำด ตัวอย่างที่ 5 ในกำรเลือกตั้งกรรมกำรชุดหนึ่งจะประกอบไปด้วย ประธำน รองประธำน เหรัญญิก และเลขำ โดยกรรมกำรแต่ละคนจะดำรงตำแหน่งได้เพียงตำแหน่งเดียวเท่ำนั้น ถ้ำมีผสู ้ มัครทั้งหมด 6 คน เป็ นชำย 2 คน เป็ นหญิง 4 คน ผลกำรเลือกตั้งกรรมกำรชุดนี้จะมีได้ท้ งั หมดกี่แบบต่ำงกัน โดยที่ 1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 2. กำหนดให้ประธำนเป็ นชำย และเลขำต้องเป็ นหญิง 3. กรรมกำรต้องเป็ นหญิงล้วนๆ

100

วิธีทา มีผสู ้ มัคร 6 คน เป็ นชำย 2 คน เป็ นหญิง 4 คน ให้เลือกกรรมกำร 4 ตำแหน่ง ประธำน รองประธำน เหรัญญิก เลขำ 1) ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม แต่ละคนเป็ นได้ตำแหน่งเดียว ตำแหน่งประธำน เลือกได้ 6 วิธี ตำแหน่งรองประธำน เลือกได้ 5 วิธี ตำแหน่งเหรัญญิก เลือกได้ 4 วิธี ตำแหน่งเลขำ เลือกได้ 3 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีในกำรเลือกกรรมกำรมี = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 วิธี 2) กำหนดประธำนเป็ นชำย และเลขำต้องเป็ นหญิง ตำแหน่งประธำนเป็ นชำย เลือกได้ 2 วิธี ตำแหน่งเลขำที่เป็ นหญิง เลือกได้ 4 วิธี ตำแหน่งเหรัญญิก (คนที่เหลือ) เลือกได้ 4 วิธี ตำแหน่งรองประธำน เลือกได้ 3 วิธี (คนที่เหลือสุ ดท้ำย ) ดังนั้น จำนวนวิธีในกำรเลือกกรรมกำรมี = 2 × 4 × 3 × 4 = 96 วิธี 3) กรรมกำรต้องเป็ นผูห้ ญิงล้วน ๆ ตำแหน่งประธำนเป็ นหญิง เลือกได้ 4 วิธี ตำแหน่งเลขำเป็ นหญิง เลือกได้ 3 วิธี ตำแหน่งรองประธำน เลือกได้ 2 วิธี (เฉพำะหญิงที่เหลือ) ตำแหน่งเหรัญญิก เลือกได้ 1 วิธี (เฉพำะหญิงที่เหลือ) ดังนั้น จำนวนวิธีในกำรเลือกกรรมกำรมี = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 วิธี ตัวอย่างที่ 6 ห้องประชุมแห่ งหนึ่งมี 3 ประตู จงหำวิธีในกำรเดินเข้ำ - ออกห้องประชุม โดยมีเงื่อนไข ต่ำงกันดังนี้ จำนวนวิธีในกำรเดินเข้ำ 1. จำนวนวิธีในกำรเดินเข้ำ - ออก 2. จำนวนวิธีในกำรเดินเข้ำ - ออก โดยไม่ซ้ ำประตูกนั 3. จำนวนวิธีในกำรเดินเข้ำ - ออก โดยใช้ประตูเดิม

101

วิธีทา ประตูห้องประชุมมี 3 ประตู หมำยเลข 1 2 และ 3 กำรเดิน 1. จำนวนวิธีกำรเดิน เข้ำ - ออก = 3 × 3 = 9 วิธี (ใช้ประตูซ้ ำได้) 2. จำนวนวิธีกำรเดินเข้ำ - ออก โดยไม่ซ้ ำประตูกนั = 3 × 2 = 6 วิธี 3. จำนวนวิธีกำรเดินเข้ำ - ออก โดยใช้ประตูเดิม = 3 × 1 = 3 วิธี ตัวอย่างที่ 7 ครู มีหนังสื อ 5 เล่มแตกต่ำงกัน ต้องกำรแจกให้นกั เรี ยน 4 คน จงหำจำนวนวีธีแจกหนังสื อโดยที่ 1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 2. ไม่มีใครได้หนังสื อเกิน 1 เล่ม วิธีทา กำรแจกหนังสื อต้องพิจำรณำกำรแจกทีละเล่ม หนังสื อเล่มที่ 1. ไม่มีเงื่อนไข (แจกซ้ ำได้ ) ดังนั้นแจกได้ = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 วิธี 2. ไม่มีใครได้เกิน 1 เล่ม แปลว่ำ ไม่มีใครได้ซ้ ำ ได้แล้วจะไม่แจกให้อีก ดังนั้น จะมีวธิ ี แจกหนังสื อ = 5 × 4 × 3 ×2 = 120 วิธี

วีดิทัศน์ เรื่อง แผนภาพต้นไม้ กับกฎการคูณที่มีการทางานมากกว่า 2 อย่าง

102

เรื่ องที่ 2 ความน่ าจะเป็ นของเหตุการณ์

ในชี วิตประจำวันมัก พบกับ กำรคำดคะเน หรื อกำรประมำณเหตุ ก ำรณ์ เพื่ อใช้ใ นกำรตัดสิ น ใจ โอกำสที่เหตุกำรณ์น้ นั จะเกิดได้มีมำกน้อยเพียงใด ขึ้นอยูก่ บั อัตรำส่ วนระหว่ำงจำนวนสมำชิกของเหตุกำรณ์ นั้น กับจำนวนครั้งของกำรทำงำนผูเ้ รี ยนจึงต้องทรำบ และทำควำมเข้ำใจ กับคำเหล่ำนี้ 1. การทดลองสุ่ ม (Random Experiment) คือ กำรทดลองที่ไม่สำมำรถระบุผลลัพธ์ได้อย่ำงแน่นอน แต่บอก ได้วำ่ ผลลัพธ์ของกำรทดลองนั้นมีโอกำสเกิดอะไรขึ้นได้บำ้ ง ตั ว อย่ า งที่ 1 กำรทดลองโยนลู ก เต๋ ำ 1 ลู ก 1 ครั้ ง แต้ม ที่ จ ะเกิ ด ขึ้ น ได้ คื อ แต้ม 1, 2, 3, 4, 5 หรื อ 6 ซึ่ งไม่สำมำรถบอกได้วำ่ จะเป็ นแต้มอะไรใน 6 แต้มนี้ ดังนั้นผลลัพธ์ท้ งั หมดที่จะเกิดขึ้นคือแต้ม 1, 2, 3, 4, 5, 6 ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนผลที่อำจจะเกิดขึ้นได้ท้ งั หมดในกำรโยนเหรี ยญบำท 1 เหรี ยญ 2 ครั้ง วิธีทา ในกำรโยนเหรี ยญบำท 1 เหรี ยญ ผลที่อำจเกิดขึ้นคือหัวหรื อก้อย ถ้ำให้ H แทน หัว และให้ T แทน ก้อย ในกำรหำผลที่อำจเกิดขึ้นได้ท้ งั หมดจำกกำรโยนเหรี ยญบำท 1 เหรี ยญ 2 ครั้ง ใช้ แผนภำพช่วยได้ดงั นี้ ผลทีอ่ าจจะเกิดจากการ

ผลทีอ่ าจจะเกิดจากการ

ผลทีอ่ าจจะเกิดจากการโยน

โยนเหรียญบาทครั้งที่ 1

โยนเหรียญครั้งที่ 2

เหรียญทั้ง 2 ครั้ง

H

H, H

T

H, T

H

T, H

T

T, T

H

T

ผลทั้งหมดที่อำจจะเกิดขึ้นได้ คือ (H, H), (H, T), (T, H) และ (T, T) วีดิทัศน์ เรื่อง การทดลองสุ่ม

103

2. แซมเปิ ลสเปซ (Sample Space) เป็ นเซตที่มีสมำชิกประกอบด้วยสิ่ งที่ตอ้ งกำร ทั้งหมด จำกกำรทดลอง อย่ำงใดอย่ำงหนึ่ง เขียนแทนด้วย S เช่น ตัวอย่างที่ 3 ในกำรโยนลูกเต๋ ำถ้ำต้องกำรดูวำ่ แต้มลูกเต๋ ำคืออะไร ผลลัพธ์ที่อำจจะเกิดขึ้นได้คือ ลูกเต๋ ำขึ้นแต้ม 1 หรื อ 2 หรื อ 3 หรื อ 4 หรื อ 5 หรื อ 6 ดังนั้นแซมเปิ ลสเปซที่ได้ คือ S =  1, 2, 3, 4, 5, 6  ตัวอย่างที่ 4 จำกกำรทดลองสุ่ มโดยกำรทดลองทอดลูกเต๋ ำ 2 ลูก จงหำแซมเปิ ลสเปซของแต้มของลูกเต๋ ำที่หงำยขึ้น วิธีทาเนื่องจำกโจทย์สนใจแต้มของลูกเต๋ ำที่หงำยขึ้น ดังนั้นเรำต้องเขียนแต้มของลูกเต๋ ำที่มี โอกำสที่จะหงำยขึ้นมำทั้งหมด และเพื่อควำมสะดวกให้ (a , b) แทนผลลัพธ์ที่อำจจะ เกิดขึ้น โดยที่ a แทนแต้มที่หงำยขึ้นของลูกเต๋ ำลูกแรก b แทนแต้มที่หงำยขึ้นของลูกเต๋ ำลูกที่สอง ดังนั้นแซมเปิ ลสเปซของกำรทดลองสุ่ มคือ S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} วีดิทัศน์ เรื่อง แซมเปิลสเปซ

3. เหตุการณ์ (event) คือ เซตที่เป็ นสับเซตของ Sample Space หรื อเหตุกำรณ์ที่เรำสนใจ จำกกำรทดลองสุ่ ม ตัวอย่างที่ 5 ในกำรโยนลูกเต๋ ำ 1 ลูก 1 ครั้ง ถ้ำผลลัพธ์ที่สนใจคือ จำนวนแต้มที่ได้ จะได้ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ถ้ำให้ E1 เป็ นเหตุกำรณ์ที่ได้แต้มซึ่งหำรด้วย 3 ลงตัว จะได้ E1 = {3, 6} E2 เป็ นเหตุกำรณ์ที่ได้แต้มมำกกว่ำ 2 จะได้ E2 = {3, 4, 5, 6}

วีดิทัศน์ เรื่อง เหตุการณ์ ……………………………..

104

ตัวอย่างที่ 6 โยนเหรี ยญบำท 1 เหรี ยญ 2 ครั้ง จงหำผลลัพธ์ของเหตุกำรณ์ที่จะออกหัวอย่ำงน้อย 1 ครั้ง กำรหำผลลัพธ์ท้ งั หมดที่อำจจะเกิดขึ้นจำกกำรโยนเหรี ยญบำท 1 เหรี ยญ 2 ครั้ง โดยใช้แผนภำพต้นไม้ ดังนี้

ผลลัพธ์ท้ งั หมดที่อำจจะเกิดขึ้นจำกกำรทดลองสุ่ ม มี 4 แบบ คือ HH, HT, TH และ TT นัน่ คือผลลัพธ์ของ เหตุกำรณ์ที่จะออกหัวอย่ำงน้อย 1 ครั้ง มี 3 แบบ คือ HH, HT และ TH 4. ความน่ าจะเป็ นของเหตุการณ์ ควำมน่ำจะเป็ นของเหตุกำรณ์ คือ จำนวนที่แสดงให้ทรำบว่ำเหตุกำรณ์ใดเหตุกำรณ์หนึ่งมีโอกำส เกิดขึ้น มำกหรื อน้อยเพียงใด ควำมน่ำจะเป็ นของเหตุกำรณ์ใด ๆ เท่ำกับอัตรำส่ วนของจำนวนเหตุกำรณ์ที่เรำสนใจ (จะให้เกิดขึ้น หรื อไม่เกิดขึ้นก็ได้) ต่อจำนวนผลลัพธ์ท้ งั หมดที่อำจจะเกิดขึ้นได้ ซึ่ งมีสูตรในกำรคิดคำนวณดังนี้ ควำมน่ำจะเ ป็ นของเหตุ กำรณ์ 

จำนวนผลลัพ ธ์ของเหตุก ำรณ์ทเี่ รำสนใจ จำนวนผลลัพ ธ์ท้งั หมดท ีีี ่ อำจจะเกิ ดขึ้น

เมื่อผลทั้งหมดที่อำจจะเกิดขึ้นจำกทดลองสุ่ มแต่ละตัวมีโอกำสเกิดขึ้นได้เท่ำๆ กัน กำหนดให้ E แทน เหตุกำรณ์ที่เรำสนใจ P(E) แทน ควำมน่ำจะเป็ นของเหตุกำรณ์ n(E) แทน จำนวนสมำชิกของเหตุกำรณ์ n(S) แทน จำนวนสมำชิกของผลลัพธ์ท้ งั หมดที่อำจจะเกิดขึ้นได้ n(E) ดังนั้น P( E ) = n(S)

105

ตัวอย่างที่ 7 มีลูกปิ งปอง 4 ลูก เขียนหมำยเลขกำกับไว้ดงั นี้คือ 0, 1, 2, 3 ถ้ำสุ่ มหยิบมำ 2 ลูก จงหำควำม น่ำจะเป็ นที่จะได้ผลรวมของตัวเลขมำกกว่ำ 3 วิธีทา ให้ S เป็ นแซมเปิ ลสเปซ S = {(0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3)} จะได้ n(S) = 6 E เป็ นเหตุกำรณ์หรื อสิ่ งที่โจทย์อยำกทรำบ E = {(1, 3), (2, 3)} จะได้ n (E) = 2 2 1 n E  จำกสู ตร p(E)  แทนค่ำได้ PE    6 3 n S  ควำมน่ำจะเป็ นที่จะได้ผลรวมของตัวเลขมำกกว่ำ 3 เท่ำกับ ข้ อสั งเกต 1. สมำชิกทุกตัวในเหตุกำรณ์ E ต้องเป็ นสมำชิกในอยูใ่ นแซมเปิ ลสเปซ S ดังนั้น 0 ≤ n(E) ≤ n(S) 2. ถ้ำ E เป็ นเหตุกำรณใด ๆ ในแซมเปิ ลสเปซ S จะได้วำ่ 2.1 0 ≤ P(E) ≤ 1 2.2 ถ้ำ P(E) = 1 หมำยถึงเหตุกำรณ์น้ นั ต้องเกิดขึ้นแน่นอน ถ้ำ P(E) = 0 หมำยถึงเหตุกำรณ์น้ นั ต้องไม่เกิด 2.3 ถ้ำ S เป็ นแซมเปิ ลสเปซ จะได้วำ่ P(S) = 1

1 3

106

เรื่ องที่ 3 การนาความน่ าจะเป็ นไปใช้

กำรนำควำมน่ำจะเป็ นไปใช้ ต้องกำรให้ผทู ้ ี่ศึกษำทรำบว่ำเหตุกำรณ์ต่ำงๆ นั้น มีโอกำสจะเกิดขึ้น มำกหรื อน้อยเพียงใด เพื่อช่วยในกำรประกอบกำรตัดสิ นใจ เช่น ตัวอย่างที่ 1 ไพ่สำรับหนึ่งมี 52 ใบ แบ่งเป็ น 2 สี คือ สี แดง ได้แก่โพแดงกับข้ำวหลำมตัด สี ดำ ได้แก่ โพดำ กับดอกจิก แต่ละชนิดมี 13 ใบ จงหำควำมน่ำจะเป็ นที่หยิบมำ 1 ใบแล้วได้โพดำหรื อสี แดง วิธีทา ให้ S แทน แซมเปิ ลสเปซ ไพ่ท้ งั หมดมี 52 ใบ หยิบมำทีละ 1 ใบจะได้ 52 วิธี ดังนั้น n(S) = 52 E แทน เหตุกำรณ์ ไพ่โพดำมี 13 ใบ และไพ่สีแดงมี 26 ใบ ดังนั้น n(E) = 13 + 26 = 39 39 3 n(E) แทนค่ำได้ P(E)   จำกสู ตร P(E)  n(S) 52 4 ควำมน่ำจะเป็ นที่หยิบไพ่ 1 ใบแล้วได้โพดำหรื อสี แดง เท่ำกับ 3 4

ตัวอย่างที่ 2 ในกำรหยิบสลำก 1 ใบจำกสลำก 10 ใบ ซึ่งมีเลข 0 - 9 กำกับอยู่ จงหำควำมน่ำจะเป็ นที่จะ หยิบได้เป็ นจำนวนเฉพำะสลำกมีเลข 2 เลข 3 เลข 5 เลข 7 วิธีทา S แทน แซมเปิ ลสเปซ สลำกมี 10 ใบ หยิบมำทีละ 1 ใบ จึงหยิบได้ 10 วิธี S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} n(S)=10 E แทน เหตุกำรณ์ สลำกที่เป็ นจำนวนเฉพำะ E = {2, 3, 5, 7} n(E) = 4 4 2 n(E) จำกสู ตร P(E)  แทนค่ำได้ PE    10 5 n(S) 2  ควำมน่ำจะเป็ นที่จะหยิบได้เป็ นจำนวนจำเพำะ เท่ำกับ 5

วีดิทัศน์ เรื่องการนาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ไปใช้

107

บทที่ 9 การใช้ ทกั ษะกระบวนการทางคณิตูาสตร์ ในงานอาชีพ

สาระสาคัญ กำรประกอบอำชีพในสังคมและในกลุ่มประชำคมอำเซี ยนนั้น มีหลำกหลำยสำขำอำชี พทั้งในด้ำน อุตสำหกรรม เกษตรกรรม พณิ ชยกรรม ควำมคิดสร้ำงสรรค์ และกำรบริ หำรจัดกำร อำชีพในวงกำรดังกล่ำว ล้วนมีกำรใช้ทกั ษะกระบวนกำรทำงคณิ ตศำสตร์ เข้ำไปเกี่ยวข้องเกือบทุกกลุ่มอำชีพ ซึ่ งผูเ้ รี ยนสำมำรถนำ ควำมรู ้และทักษะที่ได้เรี ยนคณิ ตศำสตร์ในระดับมัธยมศึกษำตอนปลำยมำประยุกต์ใช้ ผลการเรียนรู้ ทคี่ าดหวัง 1. บอกประเภทของงำนอำชีพที่ใช้ทกั ษะทำงคณิ ตศำสตร์ได้ 2. นำควำมรู ้ทำงคณิ ตศำสตร์ไปใช้ในงำนอำชีพได้ ขอบข่ ายเนื้อหา เรื่ องที่ 1 ลักษณะ ประเภทของงำนอำชีพที่ใช้ทกั ษะทำงคณิ ตศำสตร์ เรื่ องที่ 2 กำรนำควำมรู ้ทำงคณิ ตศำสตร์ ไปเชื่อมโยงกับงำนอำชีพในสังคมและประชำคมอำเซี ยน

108

เรื่ องที่ 1 ลักษณะ ประเภทของงานอาชีพทีใ่ ช้ ทกั ษะทางคณิตูาสตร์

1.1 กลุ่มอาชี พเกษตรกรรม ได้แก่ อำชีพ กำรทำนำ ทำไร่ กำรปลูกผัก กำรเลี้ยงสัตว์ ประมง ฯลฯ

ลักษณะงานเบื้องต้ นทีใ่ ช้ ทกั ษะทางคณิตูาสตร์ 1. กำรสำรวจของตลำดที่จะปลูกพืชเกษตรกรรม 2. กำรเตรี ยมพื้นที่ดิน ซึ่ งขึ้นอยูก่ บั ควำมกว้ำง ควำมยำวของพื้นที่วำ่ ผูป้ ระกอบกำรใช้พ้นื ที่ กี่ไร่ กี่งำน กี่ตำรำงวำ ในกำรทำแปลง ขุดร่ อง เพื่อใช้เป็ นพื้นที่นำ 1 ส่ วน พื้นที่ปลูกผัก 1 ส่ วน บ่อน้ ำ 1 ส่ วน กำรเลี้ยงสัตว์ 1 ส่ วน พื้นที่อยูอ่ ำศัย 1 ส่ วน เป็ นต้น 3. กำรเตรี ยมปุ๋ ยว่ำใช้ขนำดกี่กิโลกรัมต่อไร่ 4. กำรฉี ดยำฆ่ำแมลงโดยใช้สำรกำจัดศัตรู พืชทำงชีวภำพ เช่น สะเดำ และสมุนไพรอื่น ๆ เป็ นต้น ใช้ควำมรู ้เรื่ องอัตรำส่ วน สัดส่ วน เพื่อผสมยำกำจัดศัตรู พืชกับน้ ำก่อนฉี ดพ่น 5. กำรเก็บเกี่ยวผลผลิต ซึ่ งต้องใช้ทกั ษะกำรคำนวณระยะเวลำตั้งแต่กำรปลูก จนถึงระยะ กำรเก็บเกี่ยวผลผลิต 6. กำรจำหน่ำยผลผลิต ซึ่ งต้องใช้ทกั ษะกำรจัดทำบัญชี รับ – จ่ำย กำรจดบันทึกจำนวน ผลผลิตที่ได้

109

1.2 กลุ่มอาชี พอุตสาหกรรม ได้แก่ อำชีพพนักงำนในโรงงำนอุตสำหกรรมต่ำงๆ ได้แก่ อุตสำหกรรม ห้องเย็น ถ้วยชำมอุปกรณ์เซรำมิค ผ้ำขนหนู กระดำษและสิ่ งพิมพ์ สแตนเลส เหล็ก พลำสติก ปูนซี เมนต์ ฯลฯ

ลักษณะงานเบื้องต้ นทีใ่ ช้ ทกั ษะคณิตูาสตร์ 1. กำรคำนวณเงินรำยได้ประจำวัน 2. กำรคำนวณเงินค่ำทำงำนล่วงเวลำ 3. กำรคำนวณเงินกูแ้ ละดอกเบี้ยคงที่หรื อดอกเบี้ยทบต้น 4. กำรทำบัญชีรำยรับ – รำยจ่ำยประจำวัน 5. กำรจัดทำบัญชีพสั ดุ (กำรจัดซื้ อ กำรเบิกจ่ำยพัสดุ) 6. กำรสำรวจและวิจยั กำรตลำด 7. กำรคำนวณภำษีเงินได้บุคคลธรรมดำ 1.3 กลุ่มอาชี พพาณิชยกรรม ได้แก่ อำชีพค้ำขำย ผูป้ ระกอบกำรร้ำนอำหำรและเครื่ องดื่ม ผูป้ ระกอบกำรขำยปลีกและขำยส่ ง ธุ รกิจกำรซื้ อขำยอสังหำริ มทรัพย์ ธุ รกิจกำรซื้ อขำยหุ ้นในตลำด หลักทรัพย์ อำชีพกำรทำบัญชี กำรตลำด เป็ นต้น

110

ลักษณะงานเบื้องต้ นทีใ่ ช้ ทกั ษะคณิตูาสตร์ 1. กำรจัดซื้ อวัตถุดิบในกำรค้ำขำยปลีกหรื อขำยส่ ง 2. กำรจำหน่ำยสิ นค้ำ กำรคำนวณรำคำสิ นค้ำต่อหน่วย กำรทอนเงิน 3. กำรจัดทำบัญชีพสั ดุ (กำรจัดซื้ อ กำรเบิกจ่ำยพัสดุ) 4. กำรจัดทำบัญชีรับ – จ่ำยประจำวัน 5. กำรประชำสัมพันธ์ในงำนธุ รกิจค้ำขำยหรื อพำณิ ชยกรรม ซึ่ งต้องใช้ทกั ษะใน กำรคำนวณขนำดของป้ ำยโฆษณำ ขนำดตัวอักษร ขนำดและจำนวนแผ่นพับ หรื อใบปลิวโฆษณำ 6. กำรคำนวณภำษีเงินได้บุคคลธรรมดำ 1.4 กลุ่มอาชี พด้ านความคิดสร้ างสรรค์ ได้แก่ ธุรกิจโฆษณำ ธุรกิจกำรออกแบบตกแต่งที่อยูอ่ ำศัย สำนักงำนและสวนหย่อม กำรจัดดอกไม้และแจกันประดับ ธุรกิจกำรทำพวงหรี ด กำรจัดกระเช้ำของขวัญ เป็ นต้น

ลักษณะงานเบื้องต้ นทีใ่ ช้ ทกั ษะคณิตูาสตร์ 1. กำรจัดเตรี ยมขนำด ปริ มำตร รู ปทรงของพื้นที่หรื อชิ้นงำนในกำรจัดทำธุ รกิจ ซึ่ งต้องใช้ กำรวัดควำมกว้ำง ควำมยำว ควำมสู งของพื้นที่หรื อชิ้นงำน กำรออกแบบรู ปทรงโดยใช้ รู ปเรขำคณิ ตสำมมิติ 2. กำรคำนวณปริ มำณของวัสดุอุปกรณ์ในกำรใช้ประดิษฐ์สร้ำงสรรค์ชิ้นงำนหรื อกำรจัด ตกแต่งสวนหย่อม 3. กำรคำนวณเพื่อกำหนดรำคำขำยสิ นค้ำ 4. กำรจัดทำบัญชีพสั ดุ (กำรจัดซื้ อ กำรเบิกจ่ำยพัสดุ) 5. กำรจัดทำบัญชีรับ – จ่ำย ประจำวัน 6. กำรประชำสัมพันธ์ในอำชี พธุ รกิจทุกประเภท ซึ่ งต้องใช้ทกั ษะในกำรคำนวณ เป็ นพื้นฐำนในกำรจัดทำแผ่นป้ ำยประชำสัมพันธ์หรื อแผ่นพับ แผ่นปลิว 7. กำรคำนวณภำษีเงินได้บุคคลธรรมดำ

111

1.5 กลุ่มอาชี พบริหารจัดการและการบริการ ได้แก่ อำชีพกลุ่มงำนบริ กำรและกำรท่องเที่ยว งำนบริ กำรรักษำควำมปลอดภัย บริ กำรดูแลทำรกและเด็ก บริ กำรดูแลผูส้ ู งอำยุ บริ ก ำรสันทนำกำรและกำร กีฬำ เป็ นต้น

ลักษณะงานเบื้องต้ นทีใ่ ช้ ทกั ษะคณิตูาสตร์ 1. กำรสำรวจพื้นที่ในกำรให้บริ กำร กำรคำนวณระยะทำงในกำรให้บริ กำร 2. กำรจัดซื้ อวัสดุ อุปกรณ์ในกำรให้บริ กำร 3. กำรรับสมัครและกำหนดเงินเดือนตำมตำแหน่งงำนของเจ้ำหน้ำที่ในกำรให้บริ กำร 4. กำรจัดทำตำรำงเวลำ กำรอยูเ่ วร – ยำมของเจ้ำหน้ำที่ประจำสำนักงำน 5. กำรจัดทำกำหนดกำรท่องเที่ยวและกำรให้บริ กำร รวมทั้งกำหนดรำคำขำย บริ กำรในแต่ละพื้นที่ 6. กำรคำนวณกำรใช้น้ ำมันเชื้ อเพลิงของยำนพำหนะที่ให้บริ กำร 7. กำรจัดทำบัญชีพสั ดุ และกำรเบิกจ่ำยพัสดุ 8. กำรจัดทำบัญชีรับ – จ่ำยประจำวัน 9. กำรจัดทำแผ่นป้ ำยโฆษณำ ประชำสัมพันธ์กำรให้บริ กำร 10. กำรจัดทำสรุ ปรำยงำนและกำรนำเสนอข้อมูล 11. กำรคำนวณภำษีเงินได้บุคคลธรรมดำ

วีดิทัศน์ ลักษณะ ประเภทของงานที่ใช้ทักษะทางคณิตศาสตร์

112

เรื่ องที่ 2 การนาความรู้ ทางคณิตูาสตร์ ไปใช้ ในงานอาชีพได้

ในกำรนำควำมรู ้คณิ ตศำสตร์ ไปเชื่อมโยงกับงำนอำชีพทั้ง 5 กลุ่มงำนอำชีพทั้งกลุ่มงำนอำชีพ เกษตรกรรม กลุ่มงำนอำชีพอุตสำหกรรม กลุ่มงำนอำชีพพำณิ ชยกรรม กลุ่มงำนอำชีพควำมคิดสร้ำงสรรค์ และกลุ่มงำนอำชีพด้ำนบริ หำรจัดกำรและบริ กำรจะต้องนำทักษะควำมรู ้ทำงคณิ ตศำสตร์ มำใช้ทุกกลุ่มอำชีพ เช่น กำรจัดทำบัญชีรำยรับ – รำยจ่ำยประจำวัน ประจำเดือน กำรคำนวณเงินค่ำจ้ำง กำรคำนวณภำษีเงินได้ บุคคลธรรมดำ เป็ นต้น กลุ่มอำชีพทุกกลุ่มอำชีพอำจจะใช้ทกั ษะควำมรู ้คณิ ตศำสตร์ ต่ำงกันออกไป ดังนั้น ใน บทนี้จะนำเสนอตัวอย่ำงที่เป็ นทักษะทำงคณิ ตศำสตร์ ที่ใช้กนั มำกเท่ำนั้น 2.1 ทักษะการจัดทาบัญชี รับ - จ่ ายประจาวัน ตัวอย่างที่ 1 กำรจัดทำบัญชีรำยรับ – รำยจ่ำยประจำวันของเกษตรกรเลี้ยงปลำ วันที่ 5 มกรำคม 2558 จ่ำยค่ำอำหำรปลำ 2,000 บำท ค่ำไฟ 500 บำท จ่ำยค่ำจ้ำงขุดลอกบ่อ 500 บำท ขำยปลำได้ 2,500 บำท วันที่ 10 มกรำคม 2558 จ่ำยค่ำอำหำร 300 บำท จ่ำยค่ำโทรศัพท์ 780 บำท ได้รับเงินจำกกำรขำยปลำอีก 3,800 บำท วันที่ 15 มกรำคม 2558 จ่ำยค่ำตำข่ำย 800 บำท จ่ำยค่ำเสื้ อผ้ำ 1,200 บำท ได้รับเงินจำกกำรขำยปลำ 4,500 บำท วัน เดือน ปี

รำยกำรรับ

5 ม.ค. 58

รับเงินจำกกำรขำยปลำ

10 ม.ค. 58 รับเงินจำกกำรขำยปลำ 12 ม.ค. 58 รับเงินจำกกำรขำยปลำ รวม

วีดิทัศน์ ทักษะการทาบัญชีรับ-จ่ายประจาวัน

จำนวนเงิน วัน เดือน ปี รำยกำรจ่ำย บำท สต. 2,500 - 5 ม.ค. 58 ค่ำอำหำรปลำ ค่ำไฟ ค่ำจ้ำงขุดลอกบ่อ 3,800 - 10 ม.ค. 58 ค่ำอำหำร ค่ำโทรศัพท์ 4,500 - 12 ม.ค. 58 ค่ำตำข่ำย ค่ำเสื้ อผ้ำ 10,800 รวม ยอดคงเหลือยกไป

จำนวนเงิน บำท สต. 2,000 500 500 300 780 800 1,200 6,080 4,720 -

113

2.2 ทักษะการคานวณเงินค่ าจ้ าง ตัวอย่างที่ 2 วิไลเป็ นพนักงำนของบริ ษทั แห่งหนึ่ง ซึ่ งกำหนดเวลำทำงำนวันจันทร์ ถึงวันเสำร์ ได้รับค่ำจ้ำงเป็ นรำยวันๆ ละ 350 บำท มีสิทธิ ได้รับค่ำจ้ำงในวันหยุดตำมประเพณี และวันหยุดพักผ่อนประจำปี โดยไม่ตอ้ งทำงำน ในเดือนตุลำคม วิไลมำทำงำนทุก วันในวันทำงำนตำมเวลำทำงำนปกติ และวันที่ 1 ตุลำคมตรงกับวันจันทร์ ในเดือน นี้มีวนั หยุดตำมประเพณี 1 วัน คือ วันที่ 23 ตุลำคม อยำกทรำบว่ำในเดือนนี้วไิ ล ได้รับค่ำจ้ำงเท่ำไร วิธีทา อาทิตย์ 7 14 21 28

จันทร์ 1 8 15 22 29

อังคาร 2 9 16 23 30

เดือนตุลาคม พุธ พฤหัส 3 4 10 11 17 18 24 25 31

ูุกร์

เสาร์ 5 12 19 26

6 13 20 27

เดือนตุลำคม วิไลได้รับค่ำจ้ำงในวันทำงำน 26 วัน และมีสิทธิ ได้รับค่ำจ้ำงใน วันหยุดตำมประเพณี 1 วัน และได้รับค่ำจ้ำงวันละ 350 บำท ดังนั้น วิไลได้รับค่ำจ้ำงในเดือนตุลำคม = (26 + 1)  350 = 9,450 บำท 2.3 ทักษะการคานวณเงินค่ านายหน้ าและเงินปันผล ตัวอย่างที่ 3 นำยวุฒิชยั เป็ นตัวแทนขำยโทรศัพท์ ซึ่ งมีรำคำ 10,500 บำทให้กบั บริ ษทั แห่งหนึ่ง บริ ษทั คิดค่ำนำยหน้ำ 10% อยำกทรำบว่ำ วุฒิชยั ต้องส่ งเงินให้บริ ษทั เท่ำไร 10 วิธีทา ค่ำนำยหน้ำในกำรขำย =  10,500  1,050 บำท 100 ดังนั้น วุฒิชยั ต้องส่ งเงินให้บริ ษทั = 10,500 – 1,050 = 9,450 บำท ตัวอย่างที่ 4 จินตนำลงทุนหุ น้ กับบริ ษทั หนึ่งจำนวน 200 หุ น้ มูลค่ำหุ ้นละ 150 บำท อัตรำปั น ผล 12% สิ้ นปี เขำจะได้เงินปั นผลเท่ำไร วิธีทา เงินปั นผลต่อ = อัตรำเงินปันผล  มูลค่ำหุ น้ = 12%  150 12  150 = 100 = 18 บำท จินตนำมีหุน้ 200 หุ ้น  จะได้รับเงินปันผล = 18  200 = 3,600 บำท

114

2.4 ทักษะการคานวณภาษีเงินได้ บุคคลธรรมดา ตัวอย่าง นำยโชคดีได้รับเงินเดือนๆ ละ 38,000 บำท สิ้ นปี สำมำรถหักค่ำใช้จ่ำยได้ร้อยละ 40 ของเงินได้พึงประเมิน แต่ไม่เกิน 60,000 บำท หักค่ำลดหย่อนผูม้ ีเงินได้ 30,000 บำท หักค่ำเบี้ยประกันชีวติ 35,000 บำท หักดอกเบี้ยเงินกูย้ มื เพื่อซื้ อบ้ำน 36,450 บำท สิ้ นปี นำยโชคดียนื่ แบบแสดงรำยกำรภำษีเงินได้บุคคลธรรมต้องชำระภำษีหรื อไม่ ถ้ำชำระ ต้องชำระภำษีเป็ นเงินเท่ำไร วิธีทา เงินได้พึงประเมินของนำยโชคดี = 38,000  12 = 456,000 บำท หัก ค่ำใช้จ่ำย ร้อยละ 40 ของเงินได้พึงประเมิน แต่ไม่เกิน 60,000 บำท 40 ค่ำใช้จ่ำย  456,000 = 182,400 บำท 100 แต่ค่ำใช้จ่ำยของนำยโชคดีคำนวณได้ 182,400 บำท แต่สำมำรถหักได้แค่ 60,000 บำท เท่ำนั้น หัก ค่ำลดหย่อนผูม้ ีเงินได้ 30,000 บำท ค่ำเบี้ยประกันชีวติ 35,000 บำท ดอกเบี้ยเงินกูย้ มื เพื่อซื้ อบ้ำน 36,450 บำท รวม หักค่ำลดหย่อนได้ = 30,000 + 35,000 + 36,450 = 101,450 บำท เงินได้สุทธิของนำยโชคดี = เงินได้พึงประเมิน – (ค่ำใช้จ่ำย + หักค่ำลดหย่อน) = 456,000 – (60,000 + 101,450) = 294,550 บำท ตำมตำรำงอัตรำกำรเสี ยภำษีเงินได้บุคคลธรรมดำ เงินได้สุทธิ 0 – 150,000 บำท ไม่ตอ้ งเสี ยภำษี ส่ วนที่เกิน 150,001 – 300,000 บำท เสี ยภำษี 5% นำยโชคดีมีเงินได้สุทธิที่ตอ้ งเสี ยภำษี = 294,550 – 150,000 = 144,550 บำท 5 = 7,227.50 บำท = 144,550  100  นำยโชคดีเสี ยภำษี 7,227.50 บำท

115

ตารางอัตราภาษีเงินได้ บุคคลธรรมดา เงินได้ สุทธิ ช่ วงเงินได้ สุทธิ 0 - 150,000 บำทแรก 150,000 150,001 - 300,000 บำทแรก 150,000 300,001 - 500,000 บำทแรก 200,000 500,001 - 750,000 บำทแรก 250,000 750,001 – 1,00,000 บำทแรก 250,000 1,000,001 – 2,000,000 บำทแรก 1,000,000 2,000,001 – 4,000,000 บำทแรก 2,000,000 ตั้งแต่ 4,000,001 บำทขึ้นไป ข้อมูล ณ วันที่ 8 ธันวำคม 2556

อัตราภาษี (%) ได้รับยกเว้น 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35%

วีดิทัศน์ การนาความรู้ทางคณิตศาสตร์ไปใช้ในงานอาชีพ

แบบฝึ กหัดที่ 1

กิจกรรมบทที่ 9

1. นำงสมหมำยเป็ นตัวแทนขำยเครื่ องกรองน้ ำที่มีรำคำ 35,000 บำท ให้กบั บริ ษทั แห่งหนึ่ง บริ ษทั คิดค่ำ นำยหน้ำ 30% อยำกทรำบว่ำนำงสมหมำยได้เงินค่ำนำยหน้ำเท่ำไร 2. สมใจถือหุน้ ปุริมสิ ทธิของบริ ษทั ผลิตปลำกระป๋ องแห่งหนึ่ง จำนวน 200 หุ น้ มูลค่ำหุ น้ ละ 180 บำท อัตรำเงินปั นผล 8% เมื่อสิ้ นปี สมใจนจะได้เงินปั นผลทั้งหมดเท่ำไร

ดูเฉลยกิจกรรมท้ ายเล่ม

116

แบบทดสอบหลังเรียน 1. ข้อใดเป็ นจำนวนตรรกยะ ก. 3 ข. 5 ค. 7 ง. 9 2. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ ถูกต้อง ก.

22 7

เป็ นจำนวนตรรกยะ

ข. 0.59999... เป็ นจำนวนตรรกยะ ค. 1.505050... เป็ นจำนวนอตรรกยะ ง. 1.41141114... เป็ นจำนวนอตรรกยะ 3. จงหำค่ำของ ก. 10 3 ข. 10 5 ค. 24 3 ง. 24 5 4.

6. กำหนดให้ A = {2, 4} ข้อใดต่อไปนี้ไม่ ถูกต้ อง ก. {2}  A ข. {2, 4}  A ค. เซตว่ำงเป็ นสับเซตของ A ง. จำนวนสับเซตทั้งหมดของ A เท่ำกับ 3 7. ข้อใดถูกต้ อง ก. A

B แทน

48  108

เมื่อ x > 0 ทำให้อยูใ่ นรู ปอย่ำงง่ำย ตรงกับข้อใด ก. 3x 2 ข. 2x 2 ค. 2x 3 ง. 2x 5

ข.

A

B

แทน

12x 2

5. 3 2a 2  3 4a ทำให้อยูใ่ นรู ปอย่ำงง่ำย ตรงกับข้อใด ก. 2a ข. 4a ค. 2a2 ง. 4a2

ค.

A

B แทน

ง.

A

B แทน

117

8. ถ้ำ A = {1, 2, 3, 4….} และ B = {{1}, {2}, 6, 7, 8….} แล้ว A – B มีสมำชิกกี่ตวั ก. 2 ตัว ข. 3 ตัว ค. 5 ตัว ง. 6 ตัว 9. พิจำรณำข้อควำมต่อไปนี้ วันจันทร์ สุ ดำทำนข้ำวกับไข่ตม้ วันอังคำร สุ ดำทำนข้ำวกับไข่เจียว วันพุธ สุ ดำทำนข้ำวกับไข่ต๋ ุน สรุ ปว่ำสุ ดำทำนข้ำวกับไข่ทุกวัน จำกข้อควำมข้ำงต้นเป็ นกำรให้เหตุผลแบบใด ก. อุปนัย ข. นิรนัย ค. ปรนัย ง. อัตนัย 10. กำหนดเหตุ 1. สร้อยสุ ดำเป็ นนักกีฬำวอลเลย์บอล 2. นักกีฬำวอลเลย์บอลบำงคนอำรมณ์ดี ใช้แผนภำพ เวนน์ – ออยเลอร์ เขียนเหตุที่ กำหนดได้กี่แบบ ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4

11. จงหำค่ำของ

cos 45   sin 60  sin 45   cos 30 

ก. 2 ข. 1 ค. 0 ง. –1 12. แดงยืนบนหน้ำผำแห่งหนึ่ง จำกจุดที่เขำ สังเกตสู งกว่ำระดับน้ ำทะเล 60 เมตร เมื่อมองลงไปที่เรื อลำหนึ่งซึ่ งจอดอยูก่ ลำง ทะเล โดยมุมมีแนวสำยตำเท่ำกับ แนวระดับ เป็ นมุมก้ม 30 องศำ จงหำว่ำเรื อลำนี้จอดอยู่ ห่ำงจำกหน้ำผำประมำณกี่เมตร ก.

60

ข.

60 3

ค.

20

ง.

20 3

3

3

เมตร เมตร

เมตร เมตร

118

13. ภำพในข้อใดเป็ นกำรสะท้อนตำมแกน y ก.

14. จำกภำพไอโซเมตริ ก ข้อใดเป็ นภำพด้ำนบน ที่ถูกต้อง

ข. ก.

ค. ข.

ง.

ค.

ง.

119

15. ตำรำงแจกแจงควำมถี่ แสดงจำนวนนักเรี ยน ในช่วงอำยุต่ำงๆ ของนักเรี ยนกลุ่มหนึ่งเป็ น ดังนี้ ช่วงอำยุ (ปี ) 1–5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

ควำมถี่ (f) 4 9 2 5

อำยุเฉลี่ยของนักเรี ยนกลุ่มนี้ เท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ ก. 9 ปี ข. 9.5 ปี ค. 10 ปี ง. 10.5 ปี 16. กำหนดให้ขอ้ มูลชุดหนึ่ ง คือ 10, 3, x, 6, 6 ถ้ำค่ำเฉลี่ยเลขคณิ ตของข้อมูลชุดนี้ มีค่ำ เท่ำกับ 6 แล้ว x มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ ก. 3 ข. 4 ค. 5 ง. 6 17. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลขนำดเดียวกัน เป็ นสี แดง 3 ลูก เป็ นสี ขำว 2 ลูก สุ่ มหยิบลูก บอล 2 ลูกขึ้นมำพร้อมกัน ควำมน่ำจะเป็ นที่ จะได้ลูกบอลสี เดียวกันเท่ำกับเท่ำใด ก. ข. ค. ง.

1 2 2 3 3 4 2 5

ดูเฉลยแบบทดสอบท้ ายเล่ ม

18. โยนลูกเต๋ ำ 2 ลูก 1 ครั้ง ควำมน่ำจะเป็ นที่ ลูกเต๋ ำหงำย มีผลบวกน้อยกว่ำ 5 เท่ำกับเท่ำใด ก. ข. ค. ง.

1 3 1 4 1 6 1 8

19. นำยวิมลเป็ นตัวแทนขำยเครื่ องอุปกรณ์ เกี่ยวกับกำรเกษตรรำคำ 24,000 บำท ให้กบั เกษตรกร บริ ษทั ได้ค่ำนำยหน้ำ 25% อยำก ทรำบว่ำ นำยวิมลได้ค่ำนำยหน้ำเท่ำไร ก. 5,000 ข. 6,000 ค. 7,000 ง. 9,000 20. นริ นทร์ เป็ นพนักงำนขำยอุปกรณ์กำรกีฬำได้ ค่ำตอบแทนเดือนละ 22,000 บำท ไม่มี ครอบครัว สิ้ นปี หักค่ำใช้จ่ำย ร้อยละ 40 ของ เงินได้พึงประเมิน แต่ไม่เกิน 60,000 บำท หักลดหย่อนผูม้ ีเงินได้ 30,000 บำท สิ้ นปี ยืน่ แบบแสดงรำยกำรภำษีเงินได้บุคคลธรรมดำ ต้องชำระภำษีหรื อไม่ ถ้ำชำระต้องชำระ เท่ำไร (เงินได้พึงประเมิน 1 – 150,000 บำท ยกเว้นกำรเสี ยภำษี 150,000 – 300,000 บำท เสี ยภำษีในอัตรำ 5%) ก. ชำระภำษี 1,000 บำท ข. ชำระภำษี 1,200 บำท ค. จ่ำยเพิ่มอีก 800 บำท ง. ไม่ตอ้ งชำระภำษี

119

ภาคผนวก

120

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน ข้อ 1 ข ข้อ 6 ค ข้อ 11 ค ข้อ 16 ข

ข้อ 2 ก ข้อ 7 ง ข้อ 12 ก ข้อ 17 ค

ข้อ 3 ง ข้อ 8 ก ข้อ 13 ก ข้อ 18 ข

ข้อ 4 ข ข้อ 9 ข ข้อ 14 ค ข้อ 19 ง

ข้อ 5 ข ข้อ 10 ก ข้อ 15 ก ข้อ 20 ก

เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน ข้อ 1 ง ข้อ 6 ง ข้อ 11 ข ข้อ 16 ค

ข้อ 2 ค ข้อ 7 ค ข้อ 12 ข ข้อ 17 ง

ข้อ 3 ก ข้อ 8 ค ข้อ 13 ข ข้อ 18 ค

ข้อ 4 ค ข้อ 9 ก ข้อ 14 ง ข้อ 19 ข

ข้อ 5 ก ข้อ 10 ข ข้อ 15 ค ข้อ 20 ข

121

เฉลยกิจกรรมบทที่ 1 เฉลยแบบฝึ กหัดที่ 1 1) (1, 6) 4) (-1, 6] 7) [-1,  )

2) [2, 7] 5) (3,  ) 8) (-  , -2]

3) [-1, 4) 6) (-  , 5)

เฉลยกิจกรรมบทที่ 2 เฉลยแบบฝึ กหัดที่ 1

1. 1) จำนวนตรรกยะ 2) จำนวนตรรกยะ 3) จำนวนตรรกยะ 4) จำนวนอตรรกยะ 5) จำนวนตรรกยะ

6) จำนวนตรรกยะ 7) จำนวนอตรรกยะ 8) จำนวนอตรรกยะ 9) จำนวนตรรกยะ 10) จำนวนตรรกยะ

2. 1) 8a8

6)

2) 2b7

7)

3) 56a12

8) 4

4)

1 23 1 9

2 ab 5

5) x7 y5

เฉลยแบบฝึ กหัดที่ 2 2 3

1. 1) 4

2) 3

3)

5) 4

6) 2

7) 5

2. 1)

6 5

2)

2 3

3)

2 7

4) 2 8) -2 4)

23 3 3

122

เฉลยแบบฝึ กหัดที่ 3 1. 1) 7 3 5) 4 2

2) 10 5 6) 9 5

3) 83 7 7) 3

2. 1) 6 2

2)  24 10 1 2) 2

3)

3. 1) 2 3

เฉลยแบบฝึ กหัดที่ 1

62

3) 5

เฉลยกิจกรรมบทที่ 3

1. จงเขียนเซตแบบแจกแจงสมำชิก 1) A เป็ นเซตชื่อของปี นักษัตร A = {ชวด, ฉลู, ขำล, เถำะ, มะโรง, มะเส็ง, มะเมีย, มะแม, วอก, ระกำ, จอ, กุน} 2) M = {x | x  N และ 5 ≤ x ≤ 10} M = {5, 6, 7, 8, 9, 10} 3) P = {x | x เป็ นพยัญชนะในคำว่ำ philippine} P = {p, h, i, l, n, e} 2. จงเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข 1) N = {มกรำคม, มีนำคม, พฤษภำคม, กรกฎำคม, สิ งหำคม, ตุลำคม, ธันวำคม} N = {x | x เป็ นเดือนที่ลงท้ำยด้วยคม} 2) B = {2, 4, 6, 8, 10} B = {x | x N และ 2 ≤ x ≤ 10} 3) D = เป็ นเซตของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 – 25 และ 3 หำรลงตัว D = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} 3. กำหนดให้ U = {x | x N และ x ≤ 15} A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} C = {3, 6, 9, 12, 15} จงหำ 1) A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14} = {3} 2) A  C

4) 2 2 3 8) 11 2 4) 3 4)

3 2 3 3

123

3) 4) 5) 6)

B–C B (A  B)  C (A  B)  - C

= = = =

{2, 4, 8, 10, 14} {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} {3, 6, 12} {1, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15}

4. จำกกำรสอบถำมเด็กผูช้ ำย 75 คน ชอบของเล่นที่เป็ นรถสี แดง 27 คน สี ฟ้ำ 34 คน สี เขียว 42 คน ชอบ ทั้งสี แดงและสี เขียว 14 คน ชอบทั้งสี ฟ้ำและสี เขียว 12 คน ชอบสี แดงและสี ฟ้ำ 10 คน ชอบทั้งสำมสี 7 คน จงหำว่ำเด็กที่ชอบของเล่นที่เป็ นรถเพียงสี เดียวมีกี่คน วีธีทำ A = ชอบสี เขียว 42 คน B = ชอบสี ฟ้ำ 34 คน C = ชอบสี แดง 27 คน สีเขียว

A

B

23

5 19 7 7 3 10

สีฟำ้

U

สีแดง

C จำนวนเด็กผูช้ ำยที่ชอบของเล่นที่เป็ นรถเพียงสี เดียว = 23 + 19 + 10 = 52 คน

เฉลยแบบฝึ กหัดที่ 1

เฉลยกิจกรรมบทที่ 5

1. จงหำว่ำอัตรำส่ วนตรี โกณมิติที่กำหนดให้ต่อไปนี้ เป็ นค่ำไซน์ (sin) หรื อโคไซน์ (cos) หรื อแทนเจนต์ (tan) ของมุมที่กำหนดให้ b 1) sin A = C c a b 2) tan A = b a a B 3) sin B = A c c b 4) cos B = c

124

2. จงหำค่ำ a และ b จำกรู ปที่กำหนดให้

AA  ABC เป็ นสำมเหลี่ยมมุมฉำก

4504 a DD

60 30๐03

4504 CC

BB

bb เนื่องจำก  ABC เป็ น  หน้ำจัว่  AB = BC = 5  ABD เป็ นสำมเหลี่ยมมุมฉำก AB tan AˆDB = tan 300 = BD 1 5 = 3 b  b = 5 3 3. จงหำค่ำของ 1) sin 30 – cos 30 + sin 60 – cos 60 + tan 45

1 3 3 1    1 1 2 2 2 2 2) tan2 45– sin 30  cosec260

 1  2  = 1       2  3   1  4  = 1    2  3  1 = 3 2

2

AB AC a = 5 2 =5

cos BˆAC = cos 45 =

1 2  a

125

sin30   cosec 2 30   cos60   sec 2 60  3) tan 2 45  sin 30  1 1 2 2  2   2  2 = 2 8 2 1 1  2 2 2  sin 60  cos 60  2cos 2 30   4) tan 2 45 sec 60  2

 3  3 1      2    2 2 2 =     1 2 3 3 7 = 1   1 4 4 4 2

2

4. มำนะยืนห่ำงจำกตึก 20 เมตร มองเห็นยอดตึกเป็ นมุมเงย 45 และเห็นเสำอำกำศที่ต้ งั อยูบ่ นยอดตึก เป็ นมุมเงย 60 จงหำว่ำเสำอำกำศสู งจำกตึกเท่ำไร (กำหนด 3 = 1.73) D ABC เป็ น หน้ำจัว่ BC = AB = 20 3 .ให้ DC สู ง x เมตร C DB = 20 3 + x เมตร DB tan A = AB 60 20 3  x tan 60  = 45 A B 20 3 20 3  x 3 = 20 3 20  3 = 20 3  x x = 20  3 - 20 3 = 20 (3 – 1.73) = 20  1.27 = 25.40 เสำอำกำศสู งจำกตึกประมำณ 25.4 เมตร

126

เฉลยแบบฝึ กหัดที่ 1

เฉลยกิจกรรมบทที่ 6

1. กำหนดมุมสี่ เหลี่ยมมุมฉำกดังรู ป

ก. ข. ค. ง.

(ตอบ สี่ เหลี่ยมผืนผ้ำ) (ตอบ 90 องศำ) (ตอบ แนวทแยง) (ตอบ  BDE 2 รู ป ประกอบกันเป็ น ฀ BDEG)

2. จงเขียนรู ปคลี่ของทรงสำมมิติต่อไปนี้ ตอบ รู ปคลี่ของทรงสำมมิติต่อไปนี้ รูปต้ นแบบ

รูปคลี่

127

รูปต้ นแบบ

รูปคลี่

รูปต้ นแบบ

รูปคลี่

เฉลยกิจกรรมบทที่ 7 เฉลยแบบฝึ กหัดที่ 1 560 47.95 = 28 20 มัธยฐำน i) เรี ยงข้อมูล 12 13 15 18 24 24 26 2 28 28 28 28 29 32 34 34 40 40 40

1. ค่ำเฉลี่ย x



40

n 1 = 10.5 2 28  28  มัธยฐำน = = 28 2 ฐำนนิยม 28 และ 40 x) ตำแหน่งของมัธยฐำน =

128

2. ตำรำงแสดงคะแนนของนักเรี ยน คะแนน ความถี่ (f1) จุดกึง่ กลาง (xi) fi xi ความถี่สะสม 18 – 22 2 20 40 2 23 – 27 8 25 200 10 28 – 32 15 30 450 25 33 – 37 11 35 385 36 38 – 42 3 40 120 39 43 – 47 1 45 45 40  fx  1240 f  n   fx 1240 1. ค่ำเฉลี่ยเลขคณิ ต ( x ) = = = 31 40 f  ค่ำเฉลี่ยเลขคณิ ต คือ 31 N 80   20  มัธยฐำนอยูใ่ นขั้น 28 – 32 2. มัธยฐำน : 2 2 อันตรภำคชั้นที่มีมธั ยฐำนอยูค่ ือ 28 – 32 มี i = 5 , Lo = 27.5 ,  f = N   f  i   จำกสู ตร Md  Lo  i  2  fm      20  10  Md  27.5  5    27.5  3.33  30.83  15   มัธยฐำนเท่ำกับ 30.83 3. ฐำนนิยม : ฐำนนิยมอยูใ่ นชั้น 28 – 32 (ชั้นที่มีควำมถี่สูงสุ ด)

 d  Lo  i  1   d1  d 2  เมื่อ Lo = 27.5 , d1 = 15 – 8 = 7 , d2 = 15 – 11 = 4 , i = 5  7  Mo  27.5  5   30.68 7 4  ฐำนนิ ยมเท่ำกับ 30.68 จำกสู ตร Mo



129

เฉลยแบบฝึ กหัดที่ 2

1. 1) 1.1) กำไร 2 ล้ำนบำท 1.2) กำไร 4 ล้ำนบำท 1.4) กำไร 8 ล้ำนบำท 1.5) กำไร 4 ล้ำนบำท 2) เดือน เม.ย. 3) เดือน ม.ค. 4) เดือน ก.พ. เดือน มี.ค. เดือน พ.ค. 5) ไม่มี

1.3) กำไร 4 ล้ำนบำท 1.6) กำไร 6 ล้ำนบำท

2. กำรเลือกข้อมูลมำใช้ประกอบกำรตัดสิ นใจต้องอำศัยหลักกำรใดบ้ำง 1. เชื่อถือได้ 2. ครบถ้วน 3. ทันสมัย 3. ข้อมูล ต่ำงกับ สำรสนเทศ อย่ำงไร จงอธิ บำยพร้อมยกตัวอย่ำงประกอบด้วย ข้อมูล หมำยถึง ข้อเท็จจริ ง หรื อเหตุกำรณ์ที่กี่ยวข้องกับสิ่ งต่ำงๆ เช่น บุคคล สิ่ งของ สถำนที่ ฯลฯ ข้อมูลเป็ นเรื่ องเกี่ยวกับเหตุกำรณ์ที่เกิดขึ้นอย่ำงต่อเนื่ อง ข้อมูลถูกต้องแม่นยำ ครบถ้วนขึ้นอยู่ กับผูด้ ำเนินกำรที่ให้ควำมสำคัญของควำมรวดเร็ วของกำรเก็บข้อมูล สำรสนเทศ เกิดจำกกำรนำข้อมูล ผ่ำนระบบกำรประมวล คำนวณ วิเครำะห์และแปล ควำมหมำยเป็ นข้อควำมที่สำมำรถนำไปใช้ประโยชน์ได้

เฉลยกิจกรรมบทที่ 9 เฉลยแบบฝึ กหัดที่ 1

1. นำงสมหมำยเป็ นตัวแทนขำยเครื่ องกรองน้ ำที่มีรำคำ 35,000 บำท ให้กบั บริ ษทั แห่งหนึ่ง บริ ษทั คิดค่ำ นำยหน้ำ 30% อยำกทรำบว่ำนำงสมหมำยได้เงินค่ำนำยหน้ำเท่ำไร

แนวคิด

35,000 ×

= 10,500 บำท

2. สมใจถือหุน้ ปุริมสิ ทธิของบริ ษทั ผลิตปลำกระป๋ องแห่งหนึ่ง จำนวน 200 หุ น้ มูลค่ำหุ น้ ละ 180 บำท อัตรำเงินปั นผล 8% เมื่อสิ้ นปี สมใจจะได้เงินปั นผลทั้งหมดเท่ำไร

แนวคิด

× 180 × 200 = 2,880 บำท

130

131

132

คณะผู้จัดทา ทีป่ รึกษา นำยสุ รพงษ์ จำจด นำยกิตติศกั ดิ์ รัตนฉำยำ นำยประเสริ ฐ หอมดี

เลขำธิกำร กศน. รองเลขำธิกำร กศน. รองเลขำธิกำร กศน.

คณะผู้เขียนสรุ ปเนื้อหา นำงพรรณทิพำ นำงพรทิพย์ นำงกนกวลี นำยวุฒิชยั นำยรณชัย

ผูอ้ ำนวยกำรกลุ่มพัฒนำระบบกำรทดสอบ ข้ำรำชกำรบำนำญ ข้ำรำชกำรบำนำญ ข้ำรำชกำรบำนำญ โรงเรี ยนสำยน้ ำผึ้ง ในพระอุปถัมภ์ฯ

ชินชัชวำล กล้ำรบ อุษณกรกุล ศรี วสุ ธำกุล มำเจริ ญทรัพย์

คณะทางาน นำยคมกฤช จันทร์ขจร นำงกิตติยำ รัศมีพงศ์ นำงพิชญำ นัยนิตย์ นำงสำวสวรรค์ พลฉกรรณ์ นำงสำวประภำรัช ทิพย์สงเครำะห์ นำยเกรี ยงไกร มหำโชคดิลก

ผูอ้ ำนวยกำรสถำบันกำรศึกษำทำงไกล รองผูอ้ ำนวยกำรสถำบันกำรศึกษำทำงไกล สถำบันกำรศึกษำทำงไกล สถำบันกำรศึกษำทำงไกล สถำบันกำรศึกษำทำงไกล สถำบันกำรศึกษำทำงไกล

ผู้พมิ พ์ ต้นฉบับ นำงสำวประภำรัช ทิพย์สงเครำะห์ นำยเกรี ยงไกร มหำโชคดิลก

สถำบันกำรศึกษำทำงไกล สถำบันกำรศึกษำทำงไกล

ผู้ออกแบบปก นำยศุภโชค ศรี รัตนศิลป์

กลุ่มพัฒนำกำรศึกษำนอกระบบและ กำรศึกษำตำมอัธยำศัย

133